§6. Дифференциальные операторы

Как и раньше для обозначения вектора используются обозначения a либо .

1. Дифференциальные операторы 1-го порядка

1. Оператор набла = i + j + k .

u= i+ j+ k=grad u.

Свойства

f(u) = f(u) u.

Пример 1. , r = , r = .

Пример 2. = = r = .

Пример 3. = =r = =. Таким образом, гравитационное поле потенциальное и его потенциал равен .

2. Дивергенция div V = (,V ) = ,V=(P,Q,R).

Свойства

(,V+W ) =(,V )+ (,W )

(,fV ) =f (,V )+ (f,V )

Пример 4. = (, )= (, )+ ( )= +(, ) = 0. Это следует и из примера 3.

Пример 5. Пусть =(x-x₀, y-y₀, z-z₀) ,,где(x₀, y₀, z₀) – фиксированная точка. Тогда div =. Имеем =(P,Q,R)=,

=,=,=,откуда следует требуемое равенство.

Пример 6 (4391). Доказать, что =,где =(x-x₀, y-y₀, z-z₀) и точка не лежит на границе области. Отметим, что .

Рассмотрим сначала случай, когда точка М₀ не лежит в области W. Тогда по формуле Остроградского Гаусса

====.

В случае, когда М₀ лежит внутри области W , окружаем ее сферой достаточно малого радиуса  так , чтобы она целиком лежала внутри W. Эту сферу, ориентированную отрицательно, обозначим Ф_ . Шар радиуса  с центром в М₀ обозначим K_ . Через W_ обозначим область W , из которой удалена шаровая полость K_ . К области W_ можно применить формулу Остроградского Гаусса

====.

С другой стороны =+=+== при 0 .

Аналогично, для тройного интеграла

=-. Интегралбудет стремиться к 0 при0. ===.

3. Ротор rot V = [,V]

[,V+W ] =[,V ]+ [,W ]

[,fV]) =f [,V])+[f, V])

2. Дифференциальные операторы 2-го порядка

1. rot grad u = [ , u]= 0

2. div rot V = (,[,V]) = 0

3. u = div grad u = (,u) = .Оператор Лапласа.

Функция u называется гармонической в некоторой области, если u =0 в этой области.

4. grad div V

5. rot rot V

Пример 5. (4447) Найти поток вектора гравитационного поля точечной массы, расположенной в начале координат V=r через замкнутую поверхность Ф , не проходящую через начало координат в направлении внешней нормали.

В примере 4 было показано, что div V = 0 , поэтому вычисляемый поток будет равен нулю в случае, когда поверхность Ф не охватывает начало координат. В случае, когда гравитационная масса находится внутри области D, ограниченной поверхностью Ф рассмотрим сферу S с центром в начале координат целиком лежащую в области D и ориентированной внутренней нормалью.

Тогда поток V через границу области с границей Ф + S ( область D с шаровой полостью ) будет равен нулю. Следовательно, искомый поток будет равен ===m= m=m=4 m .

Пример 6. (4449) Доказать, что =dxdydz .

=(grad u , n) , откуда из равенства u = div grad u и формулы Остроградского Гаусса следует требуемое равенство.

Пример 7. Количества тепла, протекающее в поле температуры u за единицу времени через поверхность Ф в направлении ее нормали ( поток градиента температуры ) равен Q=, k – коэффициент внутренней теплопроводности (предполагается константой). По формуле Остроградского Гаусса =. Эта величина имеет смысл количества тепла, накопленного телом за единицу времени.

Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра

§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

1. Непрерывность интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

F(y) =

для области вида типа B, D={(x,y):x₁(y)xx₂(y),y[c,d]}

Предполагается, что f определена в некоторой прямоугольной области R, содержащей D, как показано на рисунке (D - замкнутая), x₁(y), x₂(y) непрерывные функции, определенные на [c,d].

Теорема. Если f непрерывна на R , x₁(y), x₂(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на [c,d].

Доказательство. Для заданного , используя равномерную непрерывность функцииf можно подобрать y так,что

= ++ M|x₁(y+y)-x₁(y)|+(b - a) + M| x₂(y+y)-x₂(y)|.

Здесь используется ограниченность функции f , |f|  M . Отметим, что при доказательстве использовалось то, что функция определена на некотором объемлющем множестве R. Так, например, для интеграла функция f должна быть определена на отрезке [A,B] , лежащем вне области D (см. рисунок)

Определение. Пусть функция f(x,y) определена на [a,b] для любого yY . Говорят, что f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y y₀ если

 >0 >0x[a,b]yU_(y₀): |f(x,y) - g(x)|< .

Это понятие является обобщением понятия равномерной сходимости функциональной последовательности f(x,y) равномерно сходится на [a,b] к g(x) при n , где вместо дискретного переменного n (индекса) выступает «непрерывный» параметр y .

Теорема. (Аналог теоремы о непрерывности предельной функции, равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy₀ , то функция g(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство. Выпишем неравенства

|g(x)-g(x₀)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x₀,y)-g(x₀)+ f(x₀,y)| | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x₀,y)|+ |g(x₀)- f(x₀,y)|. Для заданного  сначала выбираем  окрестность точки x₀ так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x₀,y)|<  для любых y из некоторой окрестности точки y₀ . Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x₀)- f(x₀,y)| можно сделать также <  выбором ещё меньшей окрестности точки y₀ для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x) .

Теорема. (Аналог теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла или, что тоже, о почленном интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy₀ , то

.

Доказательство. |b - a| .

2. Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Предположим, что область является областью типа А и В . Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы

F(y) = G(x)=

3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема (Лейбниц). Если f и непрерывны в [a,b] [c,d] , то F(y) =

дифференцируема на [c,d] и .

Доказательство.

==, 0< <1. Тогда

.

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции следует требуемое утверждение.

Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольнике R, содержащем область D.

Теорема. Если f и ее производная непрерывны наR, x₁(y), x₂(y) имеют непрерывные на [c,d] производные, то F(y) = также имеет производную

+-.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(u,v,y) = , определенную на прямоугольном параллелепипеде ,Для нее существуют непрерывные частные производные . Непрерывность функции=следует из равномерной непрерывности функции . Дифференцируя сложную функцию F(y) = = Ф(y, x₁(y), x₂(y)) получим требуемое равенство.