§3. Формула Стокса

1. Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y)

Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф, однозначно проектируемую не все координатные плоскости. Пусть эта поверхность имеет задание z = z(x, y), (x, y)D_z относительно переменных x,y. Через Г обозначим край этой поверхности с согласованной ориентацией. Согласованной ориентацией называется такая, что при обходе края поверхности в этом направлении с выбранной нормалью, поверхность остается слева.

Пусть P(x,y,z) задана и непрерывна на Ф и имеет там непрерывные частные производные ,. Тогда имеет место равенство

.

Доказательство проведем для положительно ориентированной поверхности

Обозначим P^*(x,y)=P(x,y,z(x,y)). Отметим, что =. Это следует из формулы вычисления криволинейного интеграла. Действительно, рассмотрим параметризацию кривой.

 : t[, ] тогда  : t[, ].

Тогда ==,

=.

По формуле Грина

========. Здесь использовалось соотношение между направляющими косинусами единичной нормали

cos  = , cos = ,откуда q cos  = - cos  .

Замечание. Доказанная формула будет верна и для допустимых поверхностей, то есть для поверхностей, дапускающих зарбиение на части, однозначно проектируемые на все координатные плоскости.

2. Формула Стокса для векторного поля.

Пусть Ф допустимая, ориентированная поверхность и V=(P,Q,R) непрерывное на Ф поле, Г-край этой поверхности с согласованной ориентацией.

Из доказанной формулы формальной заменойz на y, y на x, x на z, P на R (см. рисунок, заменяем 1 на 2) получим .

Точно так же заменой z на x, y на z, x на y, P на Q (см. рисунок, заменяем 1 на 3) получим . Складывая полученные выражения, получим

=.

Векторная запись формулы Стокса. Ротор определяется по формуле

rot V = .

Тогда формула Стокса запишется в виде

(V, ds) = (rotV, dS)=.

Циркуляция векторного поля по краю поверхности равна потоку ротра через эту поверхность. Подробнее о смысле этой терминологии будет сказано позже.

Пример 1.(4367) Вычислить ,С- окружность x²+y²+z²=a², x+y+z=0 , проходимая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.

rot V = =(-1,-1,-1). В качестве поверхности с краем C выберем круг сечения плоскости x+y+z=0 шара x²+y²+z² a² , ориентированный нормалью (1,1,1). Тогда

=(rotV, dS)= (rotV, n) dS= dS=Ф= a².

Пример 2.(4368) Вычислить , взятый по отрезку винтовой линииx=a cos  , y=a sin  , z= от А(а,0,0) до B(a,0,h).

rot V = =(0,0,0), поэтому интеграл не зависит от пути интегрирования и вместо винтовой линии выберем отрезок, соединяющий точки A, B. .

=.

Пример 3.(4369) Доказать формулу

=,

где Ф- область, лежащая в плоскости с единичной нормалью , ограниченная кривой, согласованно ориентированной с нормалью.

,

rot V = =(2cos,2cos,2cos)=2.

=.

Пример 4. Вычислить . С- контур x=a sin²t, y=a sin t cos t, z=a cos²t , t[0,].

Контур лежит в плоскости x+z=a , далее ,y²=x z , y²=x (a – x) , или .Таким образам, этот контур является эллипсом с полуосями .

rot V = , , , =

3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве

Лемма. Для того, чтобы интеграл

(V, ds) (1)

не зависел от пути интегрирования Г (соединяющего две фиксированные точки А , В ) необходимо и достаточно, чтобы интеграл (1) был равен нулю для любого замкнутого контура, лежащего в области (циркуляция поля равна нулю по любому кортуру из области).

Доказательство для пространственной области проводится так же, как и в плоском случае.

Определение. Область D называется поверхностно односвязной, если для любой кусочно гладкой замкнутой кривой Г (контура Г), лежащей в D можно указать ориентированную допустимую поверхность Ф, расположенную в D, краем которой является Г.

Примеры. Шар является поверхностно односвязной областью. Тор не является поверхностно односвязной областью.

Теорема 1. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути в поверхностно односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы rot V =0 в области D.

Доказательство. Достаточность (дано: rot V =0 ) следует из формулы Стокса и сформулированной леммы.

Необходимость. Предположим противное, существует точка М₀ (её можно считать внутренней точкой области D), где rot V  0. Следовательно, одна из координат этого вектора в этой точке будет отлична от нуля. Пусть, например, Найдется окрестность этой точки, в которой будет выполняться условиеи которая будет лежать вD. Сечение этой окрестности плоскостью перпендикулярной оси x и проходящей через точку М₀ обозначим (круг радиуса, ориентированный ортом оси x) , а его границу – через (окружность с согласованной ориентацией).D-проекция K на плоскость yOz

Используя формулу Стокса, получим противоречие:

= => .

Теорема 2. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути интегрирования в поверхностно односвязной области D , необходимо и достаточно, чтобы подинтегральное выражение было полным дифференциалом

Pdx+Qdy+Rdz = du.

Доказательство. Достаточность. Если Pdx+Qdy+Rdz = du , то ,,. Откуда следует, чтоrot V =0 .

Необходимость. Определим функцию u по формуле

u(x,y,z) = (V, ds) ,

где М₀(x₀, y₀, z₀) – фиксированная точка в области D , а интегрирование ведется по некоторому пути, соединяющему точки М₀ и М. Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то определение корректно. Докажем, что таким образом определенная функция является искомой, т. е. ,,. Вычислим производнуюнепосредственно по определению.

Для отрезка ММ используем параметризацию

. Тогда

= =P(x+x,y,z), откуда и следует требуемое соотношение для частной производной . Аналогично проводится доказательства для других производных.