Теория игр

Джон фон Нейман, О. Монгенштерн, 1944 год

Принятие решений в условиях неопределённости, риска.

Конфликт сторон (игроков).

Стратегии – возможные действия игроков

Чистые и смешанные

Игры:

С постоянной разностью;

Кооперативные и нет.

Антагонистические, или с нулевой суммой:

Функция выигрыша ( платежная матрица)

Игрок в

Орел Решка

Орел - 1 1

A Решка 1 - 1

B1 B2 . . . . . Bn

А1 a₁₁ a₁₂ . . . . a_1n

А2 a₂₁ a₂₂ . . . . a_2n выигрыш А при

. стратегиях А2 и Вn

.

.

Аm a_m1 a_m2 . . . . a_mn

Осторожная стратегия :

Min Max Min

2 1 4 1 1

-1 0 6 0 нижняя

цена игры

Max 2 1 6

Min Max 1 верхняя цена игры

Здесь цена игры ν = 1

Седло Min Max Min

5 6 8 5

9 7 8 7 7

7 6 6 6

Max 9 7 6

Min Max 7

Здесь цена игры ν = 7, игра решена в

Чистых стратегиях

Смешанные стратегии – применение чистых стратегий с вероятностями p_i : S_A(p₁, p₂, ...,p_n).

Активные стратегии: p_i > 0

Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому невыгодно отступать от своей оптимальной стратегии. При этом средний выигрыш А >= ν при любой стратегии В и равен ν при оптимальной стратегии В.

Теорема фон Неймана: каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Решение игры методом линейного программирования

Игрок В

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄

А a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄

A1 a11p1 a12p1 a13p1 a14p1 + + + + A2 a21p2 a22p2 a23p2 a24p2 + + + + A3 a31p3 a32p3 a23p3 a34 p3        

a11x1 a12x1 a13x1 a14x1 + + + + a21x2 a22x2 a23x2 a24 x2 + + + + a31x3 a32x3 a23x3 a34 x3  1  1  1  1

A1 A2 A3 a11p1+a21p2+a31p3   a12p1+a22p2+a32p3   a13p1+a23p2+a33p3   a14p1+a24p2+a34p3  

A1 A2 A3 a11x1+a21x2+a31x3  1 a12x1+a22x2+a32x3  1 a13x1+a23x2+a33x3  1 a14x1+a24x2+a34x3 1

Здесь x_i=p_i/.

Вводим произвольные значения x₁, x₂, x₃ и домножаем на них столбцы платежной матрицы. Столбец В2 игнорируем как доминируемый, т.е заведомо невыгодный игроку В при всех стратегиях игрока А.

	Спрос
Продукция	B1	B2	B3	B4		0
A1	3	3	6	8	x1	2
A2	9	10	4	2	x2	2
A3	7	7	5	4	x3	2
		Убрать как				
		доминируемый			Целевая	6
						Min
aik*xi	6		12	16
	18		8	4
	14		10	8
				
	38		30	28
Ограничения	1		1	1

Стратегии игрока А
x1=	0,074	p1=	0,4
x2=	0	p2=	0
x3=	0,111	p3=	0,6
1/=	0,185	Выигрыш	5,4