Расчет надежности системы с постоянным резервированием.

Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы m_tc, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов λ _с(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.

Решение.

а)

,

где λ_с - интенсивность отказов системы; λ _i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10.

λ _i=1/m_ti = 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ; λ = λ _i;

λ _c= λ n=0,001_*10=0,01 1/час;

m_tc=1/ λ _c=100 час;

f_c(t)= λ _c(t) P_c(t);

λ _c(50)= λ _c = 0,01 1/час, P_c(t)=e^{- λc t}, тогда f_c(50)= λ _ce^{- λc t}=0,01_*e^-0,01*50 =6*10^-3 1/час;

б) ; по условию задачи m=1, тогда час ;

; по усл. λ ₀ =0.01 1/час, тогда ;

;

;

f_c(50)=4.8 _*10^-3 1/час ; λ _c(50)=5.7 _*10^-3 1/час .

Задача 4.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала λ =10^-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Р_с(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов λ _с(t) системы.

Решение. В данном случае n=1; λ _i= λ; λ ₀= λ* n= λ; m=1. По формуле (4.14) имеем

Р_с(t)=1-(1-e^{-λ t})²;

Р_с(10)=1-(1-e^-0,1)² .

Получим Р_c(10)=1-(1-0,9048)² =0,99 .

Определим m_tс. Из формулы (4.4) имеем

час .

Определим частоту отказов f_c(t). Получим

Определим интенсивность отказов λ _с(t). Имеем

3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна P_c(t)=1-(1-e^{- λ nt})², или P_c(t)=1-[1-Pⁿ(t)]², где P(t)=e^{- λ t} .

Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть 1-[1-Pⁿ(t)]² ≥ 0,9, то

.

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t)= e^{- λ t} получим ln(P(t))=-λt, λ= -ln(P(t))/t = 6,32*10^-6 1/час.