5. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.

Математичне сподівання в.в. Х характеризує середнє значення Х із врахуванням ймовірностей його можливих значень. В практичній діяльності під математичним сподівання розуміють центр розподілу в.в.

Дисперсія характеризує розсіювання можливих значень Х відносно центру розподілу в.в.

Середнє квадратичне відхилення в. в. характеризує величину розсіювання в.в. в розмірності цієї величини.

Асиметрія характеризує симетричний чи асиметричний розподіл та право- чи лівосторонній.

Ексцес характеризує плосковерхість чи гостроверхість розподілу, порівняно з нормативним розподілом з тим же значенням дисперсії .

При графічному способі зображення закону розподілу в.в., значення в.в. імовірність якого найбільша, називають модою (М0).

Медіана (Ме)— варіанта, яка розділяє д в р за числом варіант на 2 частини

5. Сформулювати основні властивості математичного сподівання і дисперсії.

Основні властивості мат сподівання:

5. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній М(С) = С.

6. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання М(СХ)=С*М(Х).

7. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних дискретних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто М(Х1*Х2*…*Хn) = М(Х1)*М(Х2)*…*М(Хn).

8. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань: М(Х1+Х2+…+Хn ) = М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn)

Основні властивості дисперсії.

• Дисперсія будь-якої ДВВ Х невід’ємна

• Дисперсія постійної величини С дорівнює нулеві D(X) = 0

• Постійний множник С можна виносити за знак дисперсії, при цьому постійний множник треба піднести у квадрат D(СX) = С² D(X).

• Дисперсія д.в.в. Х дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини Х та квадрата її математичного сподівання. D(X) = М(Х²) – (М(Х))².

• Дисперсія алгебраїчної суми д.в.в. Х та Y дорівнює сумі їх дисперсій .

7. Записати основні закони розподілу д.В.В.: а) біномінальний; б) Пуассона; в) геометричний. Пояснити зміст позначень. Навести приклади д.В.В., розподілених за цими законами.

1. Біноміальний

Х: n n-1 … k … 0

P: pⁿ np^n-1q … C^kp^kq^n-k … q

де pⁿ – ймовірність появи події, яка розглядається n раз в n незалежних випробуваннях; np^n-1q – визначає ймовірність появи події n – 1 раз; qⁿ – ймовірність того, що подія не з явиться жодного разу.

2.Пуассона

P_n (k) = λ^ke^-λ/k!

де n- кількість незалежних випробувань, k- кількість появи подій у випробуваннях, np = λ.

3.Геометричний

де m - кількість появи подій у випробуваннях.

4. Гіпергеометричний

де m – випадкова величина, N, M, n – параметри гіпергеометричного розподілу.

7. Записати основні закони розподілу н.В.В.: а)рівномірний; б)показниковй; в) нормальний. Пояснити зміст позначень. Навести приклади н.В.В., розподілени за цими законами.

Рівномірний

Величина Х розподілена рівномірно у проміжку (a,b), якщо усі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність її імовірностей у цьому проміжку постійна, тобто

при х (a,b),

при х (a,b).

Величина визначається умовою нормування Р(а< X<b) = C(a - b) = 1

Нормальний.

Випадкову величину Х називають розподіленою нормально, якщо щільність її імовірностей має вигляд

, де а та σ – параметри розподілу.

Показниковий.

Випадкову величину Х називають розподіленою за показниковим законом, якщо щільність її імовірностей має вигляд

при х 0;

при х<0, де λ>0 – параметр.

Показниковому розподілу задовольняють: час телефонної розмови, чс ремонту техніки, час безвідмовної роботи комп’ютер. За нього математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення рівні.