1.14. Дати означення незалежності і залежності двох подій, умовної імовірності події, попарної незалежності декількох подій, незалежності у сукупності декількох подій. Навести приклади.

Подія B – незалежна від події А, якщо поява події А не змінює імовірності події В, тобто якщо умовна імовірність події В дорівнює його безумовної ймовірності:

PA(B) = P(B). Так само PB(A) = P(A).

Дві події наз-ся незалежними, якщо імовірність їх суміщення дорівнює добутку ймовірностей цих подій, в іншому разі події називають залежними.

Н.: знайти ймовірність сумісної появи герба при одному киданні двох монет.

Подія А - ймовірність появи герба 1 монети;

подія В - ймовірність появи герба 2 монети.

Події А і В НЕЗАЛЕЖНІ, тому ймовірність дорівнює:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=0,5*0,5=0,25.

Декілька подій наз-ють попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.

Декілька подій називають незалежними в сукупності (або просто незалежними), якщо незалежні кожні дві із них і незалежна кожна подія і всі можливі добутки інших.

Умовною імовірністю PA(B) називають імовірність події В, обчислену за умови, що подія А уже наступила.

Н.: 10 курсантів розв'язують задачу, серед них 2 на «5». Ймовірність розв'язання задачі відмінником 0,9, іншими курсантами 0,5. Яка ймовірність розв'язання задачі 1 курсантом?

Р(А1)=0,2;Р(А2)=0,8.

Р(В/А1)=0,9; Р(В/А2)= 0,5.

Р(С)=0,2*0,9+0,8*0,5=0,58.

1.15. Вивести формулу для обчислення р хоча б однієї з декількох подій, незалежних у сукупності…

Р появи хоча б однієї з подій А1, А2, Ап, незал в сукупності = різниці між одиницею і добутком ймовірностей п протилежних подій Р=1-q1q2…qn.

А – подія, що заклечається в появі однієї з подій А1, А2, Ап. Події А і Ā1 Ā2… Āп (жодна з подій не наступила) – протилежні, сума їх Р =1: Р(А)+Р(Ā1 Ā2… Āп) =1. Корист. теоремою множення: Р(А)=1- Р(Ā1 Ā2… Āп)=1-Р(Ā1) Р(Ā2)…Р(Āп).= 1-q1q2…qn.

Якщо події Ā1 Ā2… Āп мають однакову Р, то Р=1-q^n.

Приклад про попадання в ціль хоча б одним з 3-х знарядів.

1.16. Вивести формули повної ймовірності, Байєса…

а) Р події А, яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій В1, В2,… Вn, що утворюють повну групу = сумі добутків Р кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А: Р(А)=Р(В1)Рв1(А) +Р(В2)Рв2(А)+…+ Р(Вn)Рвn(А).

Поява події А означає появу однієї, неважливо якої з несумісних подій В1А, В2А, … ВnА.

Користуючись теоремою додавання: Р(А)=Р(В1А) +Р(ВА)+…+ Р(ВnА).

За теоремою множення сумісних подій: Р(В1А)= Р(В1)Рв1(А), Р(ВnА)= Р(Вn)Рвn(А).

Напр. є 2 набори деталей Р того,що деталь 1-го набору стандартна – 0,8, 2-го – 0,9. Знайти Р того, що навмання витягнута дет. стандартна.

б) Нехай подія А може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій В1, В2,… Вn, що утворюють повну групу. Оскільки заздалегідь невідомо, яка з цих подій наступить, їх називають гіпотезами. Р події А обчисл. За формулою повної ймовірності. Припустимо, проведений експеримент, подія А з’явилась. Визначимо, як змінились ймовірності гіпотез, будемо шукати умовні Р:

( ), ( ),… ( ).

Спочатку знайдемо умовну Р ( ), за теоремою множення:

Р(А )=Р(А) ( )=Р( ) (А)

( )= (Р( ) (А))/ Р(А)= (Р( ) (А))/ Р( ) (А) +Р( ) (А)+…+ Р(Вn)Рвn(А)

( )= (Р( ) (А))/ Р( ) (А) +Р( ) (А)+…+ Р(Вn)Рвn(А) – формули Байєса, вони дозволяють переоцінити ймовірність гіпотез після того, коли став відомим результат випробування – з’явилась подія А.