1.1. Сформулювати предмет теорії імовірностей.

1.2. Дати означення підмножини скінченної (нескінченної), зліченої і незліченої упорядкованої та неупорядкованої множини. Навести приклад.

1.3. Дати означення об'єднання (або суми), перетину (або добутку) та різниці множин. Навести основні властивості цих операцій та відповідні приклади.

1.4. Дати означення розміщення, переставлення та сполучення. Записати формули для обчислення числа цих сполук. Пояснити зміст позначень та навести приклади.

1.5. Записати формулу, що пов'язує число переставлень, сполучень та розміщень. Сформулювати правила (або принципи) суми та добутку. Навести приклади.

1.6. Дати означення випадкового експерименту, його елементарного наслідку, простору елементарних наслідків Навести приклади випадкових експериментів із скінченним, зліченим та незліченим просторами елементарних наслідків.

1.7. Дати означення подій: неможливої, достовірної, випадкової, рівноможливих, сумісних, несумісних, попарно несумісних. Навести приклади.

1.8. Дати означення об єднання (або суми), перетину (або добутку) подій, протилежної події, повної групи подій. Навести приклади.

1.9. Як випадкова подія виражається через елементарні наслідки випадкового експерименту? Які елементарні наслідки називаються такими, що сприяють появі даної події?

1.10. Сформулювати класичне визначення імовірності випадкової події, записати відповідну формулу і пояснити зміст позначень. Навести приклади. Назвати основні фактори, що обмежують застосування класичного визначення імовірності.

1.11. Сформулювати геометричне визначення імовірності, записати відповідну формулу і пояснити зміст позначень. Навести приклади. Навести основні властивості імовірності.

1.12. Дати означення частоти і відносної частоти випадкової події. Сформулювати статистичне визначення імовірності, записати відповідну формулу і пояснити зміст позначень. Навести приклади.

1.13. Сформулювати теореми: а) про імовірність суми двох подій; б) про імовірність суми двох несумісних подій; в) імовірність добутку двох подій; г) імовірність добутку двох незалежних подій. Сформулювати наслідки з теорем. Навести приклади.

1.14. Дати означення незалежності і залежності двох подій, умовної імовірності події, попарної незалежності декількох подій, незалежності у сукупності декількох подій. Навести приклади.

1.15. Вивести формулу для обчислення Р хоча б однієї з декількох подій, незалежних у сукупності…

1.16. Вивести формули повної ймовірності, Байєса…

1.17. Описати схему випробувань Бернуллі….

1.18. Сформулювати граничні теореми у схемі випробувань Бернуллі: а) теорему Пуассона; б) локальну та інтегральну теорему Муавра-Лапласа. Записати відповідні формули, пояснити зміст позначень. Навести умови коректності застосування цих теорем. Навести приклади застосування. Навести основні властивості локальної та інтегральної функцій Лапласа.

1.19. Записати формули для обчислення у схемі випробувань Бернуллі: а) імовірності відхилення відносної частоти від імовірності; б) найбільш імовірного числа появ події. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.

2.1. Дати означення випадкової величини (в.в.), дискретної (д.в.в.) та неперервної (н.в.в.) випадкових величин. Навести приклади

2.2 Дати означення закону та многокутника розподілу імовірносетй д.в.в. Навести приклади

3. Дати означення інтегральної та диференціальної функцій розподілу н.в.в. Довести їх основні властивості. Навести приклади з побудовою відповідних графіків.

4. Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в)початкового і центрального моментів; г)асиметрії; д)ексцесу; е) моди); ж) медіани. Записати формули для ї обчислення для д.в.в. та н.в.в. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.

5. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.

6. Сформулювати основні властивості математичного сподівання і дисперсії.

7. Записати основні закони розподілу д.в.в.: а) біномінальний; б) Пуассона; в) геометричний. Пояснити зміст позначень. Навести приклади д.в.в., розподілених за цими законами.

2.8. Записати основні закони розподілу н.в.в.: а)рівномірний; б)показниковй; в) нормальний. Пояснити зміст позначень. Навести приклади н.в.в., розподілени за цими законами.

9. Пояснити зміст терміну «закон великих чисел». Сформулювати нерівність Чебишова в усіх формах. Навести приклади її застосування.

10. Сформулювати основні теореми закону великих чисел: а)Бернуллі; б) Чебишова. Пояснити значення цих теорем для практики

11. Сформулювати центральну граничну теорему у формі Леві-Лідеберга в усіх видах. Сформулювати інтегральну теорему Муавра-Лапласа як окремий випадок попередньої теореми.

12. Пояснити як будуються випадкові величини, що мають розподіл: а) Пірсона ﻶ² (розподіл); б) Стьюдента (t-розподіл); в) Фішера (F – розподіл). Записати вирази для функцї щільності розподілу імовірномтей цих розподілів та їх основних числових характеристик. Пояснити зміст позначень.

3.1. Сформулювати предмет математичної статистики та її основні задачі.

3.2. Дати означення: а) генеральної та вибіркової сукупностей; б) обсягу вибірки; в) повторної, безповторної та репрезентативної вибірок; г) варіанти, статистичного розподілу вибірки, варіаційного ряду, дискретного та інтервального варіаційних рядів, частоти та відносної частоти. Навести приклади.

3.3. Дати означення статистичної (або емпіричної) функції розподілу та сформулювати її основні властивості. Пояснити різницю між емпіричною та теоретичною функціями розподілу. Навести приклади побудови емпіричної функції розподілу та її графіка.

3.4. Дати означення кумулятивних (або накопичених) частоти та відносної частоти (або частки). Пояснити їх статистичний зміст.

3.5. Дати означення полігону та гітограми. Навести приклади їх побудови.

3. 6. Дати означення: а) точкової статистичної оцінки параметра розподілу генеральної сукупності; б) незміщеної, ефективної, обгрунтованої вичерпної оцінок.

3.7. Дати означення генеральної та вибіркової середніх. Перелічити якісні властивості вибіркової середньої, довести її незміщеність та обґрунтованість. Сформулювати властивість стійкості вибіркових середніх.

3.8. Дати означення: а) генеральних та вибіркових дисперсій та середніх квадратичних відхилень; б) виправлених дисперсій та середнього квадратичного відхилення. Порівняти якісні властивості вибіркової і виправленої дисперсії. Навести приклади обчислення.

3. 9. Дати означення вибіркових: а) моди і медіани, б) початкового та центрального моментів, в) коефіцієнтів асиметрії та ексцесу. Навести приклади знаходження.

3.10. Дати означення: а) інтервальної оцінки параметра генеральної сукупності, її точності та надійності; б) надійного інтервалу. Навести приклади.

3.11. Записати формули для обчислення кінців надійного інтервалу для оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності з: а) відомим; б) невідомим значенням генерального середнього квадратичного відхилення. Навести приклади.

3.12. Сформулювати і обґрунтувати взаємозалежність між точністю інтервальної оцінки, її надійністю та обсягом вибірки. Вивести формулу для обчислення мінімально необхідного обсягу вибірки для забезпечення заданої точності інтервальної оцінки з заданою надійністю. Навести приклади.

3.13. Записати формули для обчислення кінців надійного інтервалу для оцінки середнього квадратичного відхилення нормального розподілу. Пояснити зміст позначень. Навести приклад.

3.14. Дати означення емпіричної та теоретичної частот, формули для обч. теоретичних частот розподілів : Пуассона, нормального. Пояснити зміст позначень. Навести приклад вирівнювання статистичних рядів в припущенні, що генеральна сукупність розподілена за законом: а) Пуассона, б) нормальним.

3.18.Дати означення статистичної гіпотези, нульової та альтернативної гіпотез, помилок І-го та ІІ-го роду…

3.19. Дати означення статистичного критерію, спостережного та теоретичного значення критерію ….

3.20.Дати означення рівня значущості та потужності статистичного критерію, способи знаходження однобічної та двобічних критичних областей…

1.1. Сформулювати предмет теорії імовірностей.

Предметом теорії імовірності є вивчення імовірних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Достовірна подія – обов’язково відб за будь-яких умов (при темп 20 град і відповідному тиску вода в рідкому стані)

Неможл подія – точно не відб за сукупності умов – при темп 20 град вода в твердому стані.

Випадкова подія – може відб, може ні – випаде герб чи цифра. Можна передбачити число випадання герба з невеликою похибкою, якщо експеримент повторювати багато разів.

1.2. Дати означення підмножини скінченної (нескінченної), зліченої і незліченої упорядкованої та неупорядкованої множини. Навести приклад.

Підмножина – частина множини.

Множина наз. скінченна ( нескінченна) якщо вона містить скінченне (нескінченне) число елементів. Приклад: А={1,2,3,5,8}- скінченна, B={2,9,6,8,....}-нескінченна

Нескінченна множина наз. зліченою (незліченою) якщо її елементи можна (не можна) пронумерувати. Прик. незліченої: від 0 до 1.

Множина наз. упорядкованою (неупорядкованою) якщо її елементи повинні (неповинні) бути розташовані у певному порядку. Упорядковані множини відрізняються одна від одної набором елементів з яких вони скл. або розташуванням цих елементів. Неупорядковані відр. тільки набором елементів незалежно від порядку розташування. Напр. : 1,2,3- упорядкована; 3,6,1- неупорядкована.

1.3. Дати означення об'єднання (або суми), перетину (або добутку) та різниці множин. Навести основні властивості цих операцій та відповідні приклади.

Сумою (об’єднанням, А ﮞ В= А+В) 2-х множин А і В наз. така множина С, яка містить елементи множини А або В.

Різницею А і В наз. С, яка містить елементи множини А і не мвстить елементи множини В (А-В=С)

Добутком (перетин А∩В=А*В) 2-х множин А і В наз. така множина С, яка містить елементи множини А і В.

Властивості:

1. Комутативності (переставний закон): А+В=В+А; А∩В=В∩А. 2. Асоціативності: А+В+С=В+(С+А)=А+(С+В). 3 Властивості дистрибутивності: А∩(ВυС)=А∩ВυА∩С.

Приклади. А={1,2,4,8}, B={1,2,6,8,9,10}

А ﮞ В={1,2,8}, А∩В={1,2,4,6,8,9,10}, A-B={4}

1.4. Дати означення розміщення, переставлення та сполучення. Записати формули для обчислення числа цих сполук. Пояснити зміст позначень та навести приклади.

Розміщенням з n елементів по k називається будь-яка упорядкована k-елементна підмножина n-елементної множини. Аnk= n!/(n-k)!, k ≤n, k=0,n. О, П, Р, С, Т, п=5, к=3, =n!/(n-k)!

Переставленям із n елементів називається розміщення із n елементів по n. Pn=n!

Сполученням з n елементів по k називається будь-яка неупорядкована k-елементна підмножина n-елементної множини. Сnk= n!/(n-k)!k!

Приклади:P3=3!=1*2*3=6, A42=4!/2!=3*4=12, C42=4!/2!2!=3*4/2=6

1.5. Записати формулу, що пов'язує число переставлень, сполучень та розміщень. Сформулювати правила (або принципи) суми та добутку. Навести приклади.

Числа перестановок, сполучень та розміщень пов’язані нерівністю: Аnk= Pk∙Сnk

Нехай множина А містить ел. аі, де і змінюється від 1 до n; множина В , вj (j=1,k)

Правило сум: якщо множини А і В не перетинаються, тобто А∩В=пуста множина, то множинаА або В містить n+k елементів.

Правило добутку: множина С усіх можливих пар (аі, вj) містить n*k елементів.

1.6. Дати означення випадкового експерименту, його елементарного наслідку, простору елементарних наслідків Навести приклади випадкових експериментів із скінченним, зліченим та незліченим просторами елементарних наслідків.

Експеримент наз випадковим (невизначеним), якщо в результаті його проведення може настати, або не настати деяка подія, при чому припускають, що даний експеримент (може) не може бути повтореним. Елементарним наслідком випадкового експерименту, називається така подія , яка не може бути сумою, або об’єднанням інших наслідків цього ж експерименту. Множина всіх елементарних наслідків називається простором елементарних наслідків даного експерименту. Множини поділяються на 2 групи: скінчені та нескінчені. Скінченна множина — множина, кількість елементів якої скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В інакшому випадку множина є нескінченною. Нескінчені в свою чергу поділяються на : злічені та незлічені. Злічені – така множина, елементи якої, можна пронумерувати. (приклад: множина раціональних чисел)Незлічені – її елементи не можна пронумерувати, тобто поставити у відповідність певне число з натурального ряду чисел. (приклад: множина ірраціональних або дійсних чисел)