27. Математична обробка нерівноточних вимірів
В ряду нерівноточних
вимірів х1, х2, ..., хп
будемо мати різні оцінки точності, тобто
.
За спеціальну міру відносної точності в ряду нерівноточних вимірів приймають коефіцієнт або вагу рі, яка обчислюється за формулою
;
;
,
або
,
(4.23)
де С – умовно прийнятий постійний коефіцієнт з таким значенням, щоб ваги рі в ряду вимірів були близькі до одиниці;
В ряду вимірів ваги Pi можна пропорційно збільшити або зменшити в 10 ± n.
mi – середня квадратична похибка окремого виміру;
Li – довжина вимірюваної величини;
Ni – число вимірювань, шуканої величини величини;
пі – число вимірів окремих величин хі.
Для ряду нерівноточно виміряної величини Х ймовірним або найближчим значенням (найбільш точним) буде загальне середнє арифметичне .
,
(4.24)
або
,
(4.25)
де хі – результати вимірів;
рі – ваги вимірів обчислені за однією із формул (4.23).
Мірами або критерієм точності нерівноточних вимірів приймають:
а) середня квадратична похибка (СКП) одиниці ваги або СКП того виміру, вага якого дорівнює одиниці (рі = 1)
за формулою Гаусса
,
(4.26)
за формулою Бесселя
,
(4.27)
де Dі, vi – випадкові похибки, які обчислюються за формулами (4.4; 4.5).
б) середня квадратична похибка загального середнього арифметичного
;
(4.28)
в) середні квадратичні похибки окремих вимірів
.
(4.29)
Систематичну похибку обчислюють за формулою
,
або
.
(4.30)
Гранична похибка за окремим завданням обчислюється для заданого або кожного виміру за формулою
.
(4.31)
Приклад визначення висоти точки місцевості А (рис.4.2) від чотирьох вихідних реперів наведено в табл. 4.2.
Таблиця 4.2
№ ходу |
НА (м) |
L (км) |
р = |
Н = Ні – Н0 (см) |
рН |
V cм |
pv |
pv2 |
1 |
204,36 |
10 |
1,0 |
+14 |
+14 |
-2 |
-2 |
4,0 |
2 |
204,22 |
16 |
0,6 |
0 |
0 |
-16 |
-9,6 |
153,6 |
3 |
204,46 |
6 |
1,7 |
+24 |
+40,8 |
+8 |
+13,6 |
108,8 |
4 |
204,35 |
12 |
0,8 |
+13 |
10,4 |
-3 |
-2,4 |
7,2 |
H0 |
204,22 |
|
4,1 |
|
+65,2 |
|
-0,4 |
273,6 |
Рис. 4.2. Схема визначення висоти точки А
Вага р при С = 10 обчислені за формулою (4.23).
Загальне середнє арифметичне обчислене за формулою
,
де Н0 – мінімальне значення із отриманих висот по ходу 2.
Середні квадратичні похибки одиниці ваги та загального середнього арифметичного дорівнюють:
9,5 см;
4,6
cм.
Середня квадратична похибка визначення висоти точки А по третьому ходу складе
7,3 см.