26. Математична обробка рівноточних вимірів

Виконано ряд вимірів х₁, х₂, ..., х_п при практично незмінному комплексі умов. Тоді вимірі х_і вважаються рівноточними [8].

Обчислимо істинні похибки за формулою 4.4, складемо їх, поділимо на п і отримаємо:

; (4.10)

___________

. (4.11)

За четвертою властивістю при n  .

Тоді . (4.12)

Позначимо і отримаємо = Х, коли n . Це означає, що при достатньо великій кількості вимірів, середнє арифметичне _{буде найбільш імовірним значенням, тобто найбільш близьким до істинного значення Х. Таку властивість називають принципом арифметичної середини.}

_{Таким чином визначена кількісна характеристика вимірів, середнє арифметичне або ймовірне значення обчислюється за формулою}

_{, (4.13)}

_або , (4.14)

Критерієм (мірою) точності, або якісними характеристиками ряду вимірів є середні квадратичні похибки:

а) кожного окремого виміру х_і:

• за формулою Гаусса

, (4.15)

застосовується коли відоме істинне значення шуканої величини;

• за формулою Бесселя

, (4.16)

застосовується коли невідоме Х, а обчислене .

б) середнього арифметичного

. (4.17)

Допустима (гранична) похибка в ряду вимірів х₁, х₂, ..., х_п обчислюється за формулою

_гр = tm, (4.19)

де параметр t обчислюється або вибирається із таблиці функції Лапласса в залежності від заданої довірчої ймовірності р. Відповідно маємо:

р = 0,997 t = 3,0 – при високоточних вимірюваннях;

р = 0,95 t = 2,5 – при вимірюваннях середньої точності;

р = 0,90 t = 2,0 – при технічних вимірюваннях.

Систематичну похибку обчислюють за формулою:

, або _{. (4.20)}

_{Якщо в ряду вимірів |}D_і| > D_гр або |v_i| > D_гр, то такий вимір вважається грубим, його відкидають і його вимірювання повторюють.

Для лінійних вимірювань визначають відносні похибки, які теж є мірою точності:

• відносна середня квадратична похибка

; (4.21)

• відносна гранична похибка

; (4.22)

На основі отриманих характеристик _{, m, M} , D_гр та роблять остаточний висновок про якість вимірів.

Таблиця 4.1

№ виміру	хі (м)	vi (см)		Обчислення
1	181,32	+6	36	= 181,26 м
2	181,21	- 5	25	= 4,7 см
3	181,24	- 2	4	= 2,35 см
4	181,27	+1	1	Dгр =  2 4,7 =  9,4 см
	625,04	0	66	1/Т = 9,4/181,26 = 1/1928

Оскільки v_i < D_гр, то вимірювання виконані правильно без грубих помилок.