Вопрос 14. Пределы бесконечности. Бесконечные пределы.

С понятием предела числовой последовательности a_n=f(x) тесно связано понятие предела функции y=f(x) в бесконечности. Если в первом случае переменная n, возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная х, изменяясь, принимает любые значения.

Определение: Число А называется пределом функции y=f(x) при х, стремящимся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε >0, найдется такое положительное число N>0(зависящее от ε; N=N(ε)), что для всех х, таких, что , верно неравенство.

Этот предел функции обозначается или при .

Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличается от числа А(по абсолютной величине).

Вопрос 15. Первый и второй замечательные пределы

1)Первым замечательным пределом наз. предел функции в точке х=0, т.е. .

Доказательство:

Для доказательства формулы рассмотрим круг радиуса R c центром в точке 0.

Пусть ОВ- подвижный радиус, образующий угол х (0<x<π/2) c осью Ох.

Из геометрических соображений следует, что площадь треугольник АОВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади прямоугольного треугольника АОС:

Т.к. ,

,

, то имеем , откуда, разделив части двойного неравенства на , получим или

Т.к. функции cosx и четные, то полученные неравенства справедливы и при - π/2<x<0.

Переходя к пределу при х→0, получаем , . На сновании признака существования предела промежуточной функции

Пример:

2) Второй замечательный предел.

Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности

2<e<3, e=2,718281…, т.е. число е – иррациональное.

Доказательство:

1)х>0

2) x<0 (доказывается аналогично с заменой х=у)

Любое действительное число х можно заключить между двумя целыми числами

k≤x≤k+1

, поэтому по теореме о 2х сопровождающих

Пример:

Вопрос 16. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и таблица.

Функция f(x) называется бесконечно малой при x, стремящемся к a, если

Если , то a и b называют бесконечно малыми одного порядка.

Если , то говорят, что a(x) ,бесконечно малая более высокого порядка.

Если , то a(x)бесконечно малая более низкого порядка.

Если не существует, то a и b называют несравнимыми бесконечно малыми.

Две бесконечно малые функции при х→а наз. эквивалентными, если предел их отношений равен 1.

а(х)~b(х) х→а

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

sinx~x	ax-1~x lna
tgx~x	ex-1~x
1-cosx~x2/2	loga(1+x) ~x logae
arcsinx~x	ln(1+x) ~x
arctgx~x	(1+x)α-1~αx

Правило:

При вычислении пределов в произведении одну бесконечно малую величину можно заменять на ей эквивалентную бесконечно малую.

Вопрос 17. Непрерывность функции в точке. Различные определения.

Определение 1.

Функция называется непрерывной в точке х₀, если предел при х→х₀ сущствует и равен значению функции в этой точке.

Определение непрерывности функции в точке х₀ может быть записано и так:

т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Определение 2.

- приращение функции.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀ , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

Если ∆х→0, то ∆у→0.

Точка х₀ наз. точкой разрыва функции, если эта функция в данной точке не явл. непрерывн.Различ. точки разрыва 1ого рода(когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х→х₀ , не равные др. др.) и 2ого рода(хотя бы один из односторон. пределов слева или справа равен бесконечности либо не сущ.)

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то их сумма, произведение и частное являются функциями, непрерывными в точке х₀.

2) Если функция y=f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀)>0, то существует такая окрестность точки х₀ , в которой f(x)>0.

3) Если функция y=f(u) непрерывна в точке u₀ , а функция u=g(x) непрерывна в точке u₀=g(x₀), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х₀