5. Oa и od – дополнительные полупрямые ok и on – дополнительные полупрямые n ko.
2. Определение вневписанной окружности. Доказать теорему о центре вневписанной окружности.
Рассмотрим треугольник АВС и продолжим две его стороны АВ и АС. Проведем биссектрису угла А. Тогда всякая ее точка равноудалена от лучей АС и АВ. Проведем также биссектрису угла, смежного с углом В треугольника АВС. Точка пересечения этой биссектрисы и биссектрисы угла А равноудалена от стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС, а значит, лежит на биссектрисе угла, смежного с углом С треугольника АВС.
Определение 1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух его других сторон, называется вневписанной окружностью.
Теорема о существовании вневписанной окружности: биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя внешними, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, касающейся одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Д
оказательство:
1. В любом треугольнике ABC две биссектрисы внешних углов (внешние биссектрисы) всегда пересекаются. В самом деле, сумма трех внешних углов равна 360, поэтому сумма двух из них меньше 360 и, значит, сумма половин двух внешних углов меньше 180. Тогда две внешние биссектрисы пересекаются (в той полуплоскости от стороны треугольника, которая этот треугольник не содержит), так как если бы они оказались параллельными, то сумма внутренних односторонних углов была бы равна 180.
2. Точка о пересечения внешних биссектрис равноудалена от прямых, содержащих стороны ab и bc. Поэтому через нее проходит биссектриса внутреннего угла a.
Окружность с центром О и радиусом r, равным расстоянию от точки О до стороны касания треугольника ABC, касается стороны BC в ее внутренней точке N и продолжений сторон AC и AB в точках K и P. Она называется вневписанной окружностью треугольника.
Всего существует три вневписанные окружности треугольника, соответствующие трем его сторонам.
Билет № 9.
1. Единицы измерения углов (градусы, минуты, секунды и перевод одних единиц в другие). Как измерять углы с помощью транспортира? Аксиома измерения углов (формулировка, чертеж, символическая запись).
Измерение
углов основано на сравнении их с
углом, принятым за единицу измерения.
Обычно за единицу измерения углов
принимают градус
– угол, равный
части развернутого угла.
часть градуса называется минутой,
а
часть минуты называется секундой.
Определение 1. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла.
Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры.
Если же один угол меньше другого, то в нем градус или его часть укладываются меньшее число раз, чем в другом угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Для измерения углов используется транспортир.
Аксиома измерения углов:
Каждый угол имеет положительную градусную меру. Градусная мера угла равна сумме градусных мер двух углов, на которые он делится некоторым лучом, лежащим внутри угла.
2. Каково бы ни было положительное число, не превышающее 360, существует угол, градусная мера которого равна этому числу.
Градус – это одна тристашестидесятая часть окружности. Градусная мера развернутого угла равна 180°, полного угла – 360°.
AOB = AOC + BOC.
2. Определение окружности, радиуса окружности, касательной к окружности. Доказать теорему об отрезках касательных, проведенных из одной точки к окружности.
Определение 1. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности. Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.
Определение 2. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.
Теорема 1 (об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки). Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Д
ано:
О – окружность; p
и q
– касательные;
p∩q ={A}; n – луч; O n.
Доказать: AB = AC; OAB = OAC.
Доказательство: