1. Каждый отрезок имеет положительную длину. Длина отрезка равна сумме длин двух частей, не которые он разбивается любой его точкой.

2. Каково бы ни было положительное число, существует отрезок, длина которого равна этому числу.

Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка.

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения и ее части укладываются в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Согласно аксиоме измерения отрезков любая внутренняя точка отрезка делит его на два отрезка.

Определение 3. Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

AB = BC  В - середина отрезка.

2. Определение перпендикулярных прямых. Доказать теорему о прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку этой прямой.

О пределение 1. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярность прямых обозначается следующим образом:

Теорема. Через всякую точку прямой можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой, и притом только одну.

Д ано: АВ – прямая,

Доказать:

1) существование перпендикуляра;

2) единственность перпендикуляра.

Доказательство:

1) От луча ов в заданную полуплоскость можно отложить согласно аксиоме откладывания углов.

2) Докажем, что ор – единственная прямая, перпендикулярная ав.

3) Допустим, что существует луч ОС, причем и ОС лежит в одной полуплоскости с лучом ОР.

4) Тогда Но от данной полупрямой в данную полуплоскость согласно аксиоме откладывания углов можно отложить только один угол заданной градусной меры. Следовательно, луч ОР совпадает с лучом ОС, что и требовалось доказать.

Способ, использованный при доказательстве данной теоремы, называется доказательством от противного. Суть способа заключается в следующем:

1. Сначала делается предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой.

2. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теорему, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме.

3. На основании полученного противоречия делается вывод о том, что условие теоремы верно.

О пределение 2. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Билет № 5.