1) Точка c находится вне окружности,
2) Она лежит внутри окружности. При первом предположении и усло-
вии ∠A > 90 стороны BC и DC пересекают окружность вторично в своих внутренних точках E и F. Тогда для вписанного четырехугольника ABED по необходимому условию будет ∠A+∠BED=180. По теореме о внешнем угле треугольника ∠BED > ∠C и потому ∠A+∠C < 180, что противоречит условию. Второе предположение аналогично приводит к противоречию ∠A + ∠C > 180. Доказательство закончено.
Доказательство:
1)
Проведем окружность через три вершины
четырехугольника A,
B,
D
и докажем, что она проходит также
через вершину С. Пусть это не так.
Тогда вершина С лежит либо вне круга,
либо внутри круга. Пусть точка С
лежит вне круга. Тогда
Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать вне окружности.
Пусть точка С лежит внутри круга.
Тогда
Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать внутри окружности.
Вывод: Чтобы выполнялось условие теоремы, точка С должна лежать только на окружности, а четырехугольник ABCD должен быть вписанным в окружность.
2. Доказать теорему о биссектрисах вертикальных углов.
Определение 1. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.
Определение 2. Биссектрисой угла называют луч, который делит угол пополам.
Т
еорема
1.
Биссектрисы
вертикальных углов лежат на одной
прямой.
Дано: AOB, COD – вертикальные;
OK – биссектриса AOB;
ON – биссектриса COD.
Доказать: N KO.
Доказательство:
1. AOB = COD (вертикальные).
2. AOK = KOB = 0,5AOB по определению биссектрисы.
3. СON = NOD = 0,5COD по определению биссектрисы.
4. AOB = COD AOK = NOD.
5. Oa и od – дополнительные полупрямые ok и on – дополнительные полупрямые n ko.
Билет № 30.
1. Какой четырехугольник называется вписанным в окружность? Доказать теорему о свойстве углов вписанного четырехугольника.
Т
ак
как центр окружности, вписанной в
четырехугольник, равноудален от его
сторон, то он принадлежит биссектрисе
каждого из его углов. Следовательно,
биссектрисы углов описанного
четырехугольника пересекаются в одной
точке — центре вписанной в него
окружности. Обратно, если биссектрисы
трех углов четырехугольника пересекаются
в одной точке, то эта точка будет
равноудалена от всех его сторон, т.
е. будет центром вписанной в этот
четырехугольник окружности. Итак, для
того, чтобы в выпуклый четырехугольник
можно было вписать окружность,
необходимо и достаточно, чтобы
биссектрисы трех его углов пересекались
в одной точке.
Другой критерий описанного четырехугольника связан с его сторонами.
Теорема. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.
Необходимость этого условия следует из равенства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки: AB + CD = (x + y) + (z + t) = (y + z) + (x + t) = BC + AD.
Теорема (обратная). Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Пусть четырехугольник ABCD выпуклый и AB + CD = BC +AD.
Докажем, что в него можно вписать окружность.
Действительно, биссектрисы углов ABC и BAD всегда пересекаются, так как сумма этих углов меньше 360◦, значит, сумма их половин меньше 180◦. Точка пересечения биссектрис этих углов есть центр окружности, касающейся сторон AB, BC и AD четырехугольника Покажем, что четвертая сторона CD также касается этой окружности.
Возможны два предположения: