1. Определение круга, сектора. Формула площади круга и сектора. Сегменты.

Определение 1. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром в точке О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О на расстоянии, не большем R.

Формула площади круга. Площадь S круга радиуса R выражается формулой S = R².

Следствие 1. Площади кругов относятся как квадраты радиусов или диаметров.

Пусть S₁ и S₂ – площади кругов радиуса R₁ и R₂ соответственно. Тогда

О пределение 2. Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Формула площади сектора. Площадь сектора равна произведению длины его дуги на половину радиуса:

Из чертежа очевидно, что площадь сектора зависит от градусной меры центрального угла, образованного радиусами, ограничивающими данный сектор. Она может быть определена как соответствующая часть площади круга.

Площадь сектора с центральным углом в 1° составляет часть площади круга, а площадь сектора с центральным углом в ° составляет часть площади круга и определяется по формуле: Преобразуем полученную формулу:

С ледует заметить, что площадь сектора однозначно определяется величиной центрального угла. Чем больше центральный угол сектора, тем больше длина дуги и, соответственно, площадь сектора.

Определение 3. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и хордой, соединяющими концы этой дуги.

Любая хорда разбивает круга на два сегмента.

2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника (прямая и обратная).

Теорема 1: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Д ано: ∆АВС; AB > AC.

Доказать:

Доказательство:

1. Отложим на стороне АВ отрезок AD = AC. AB > AD, точка D  AB. Сл-но, ACD - часть ACB и ACD < ACB.

2. ADC – внешний угол треугольника ∆BDC, поэтому ADC > B.

3. ∆ABC – равнобедренный по построению (AD = AC). Следовательно, ACD = ADC.

Теорема 2: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ∆АВС;

Доказать: AB > AC.

Доказательство от противного:

1. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ < AC.

2. В первом случае ∆АВС – равнобедренный  C = B.

3. Во втором случае C < B (против большей стороны лежит больший угол).

4. И то, и другое противоречит условию Следовательно, наше предположение неверно, AВ > AC.

Следствия из теорем.

Следствие 1: В тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит наибольшая сторона.

Тупой угол больше острого. Следовательно, сторона, лежащая против тупого угла, больше стороны, лежащей против острого угла.

Следствие 2: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Гипотенуза лежит против прямого угла, а катет – против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.

Следствие 3: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны). Итак, если в треугольнике две стороны равны, то треугольник равнобедренный.

Билет № 23.