2. Определение окружности, вписанной в треугольник. Доказать теорему о центре вписанной окружности. В данный треугольник вписать окружность.

Определение 1. Треугольник называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в треугольник, если все стороны треугольника лежат на касательных к окружности.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Д ано:  АВС;

АА₁, ВВ₁, СС₁ - биссектрисы.

Доказать: АА₁ ∩ ВВ₁ = {O};

АА₁ ∩ СС₁ = {O}.

Доказательство:

1. Пусть биссектрисы аа1 и вв1 пересекаются в точке о. Построим из точки о перпендикуляры ok, on и op к сторонам ав, вс и ас треугольника.

2. По характерному свойству биссектрисы ОК = ОР, так как точка О лежит на биссектрисе АА₁; и OK = ON, так как точка О лежит на биссектрисе ВВ₁. Следовательно, ОК = ОР = ON.

3. Если ОР = ON, то точка О равноудалена от сторон угла С и лежит на биссектрисе СС₁.

Вывод: Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон и является центром вписанной окружности. Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром.

Теорема 2: В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Д ано: АВС. Доказать:

1). Существование вписанной окружности с центром в точке О.

2) Единственность такой окружности.

Доказательство:

1. В произвольном треугольнике АВС обозначим буквой О точку пересечения биссектрис, так как все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. Опустим из точки O перпендикуляры на все стороны треугольника. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника, то отрезки OK = ON = OP. Поэтому окружность с центром в точке O касается всех сторон треугольника АВС и является вписанной в него.

2. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от сторон треугольника и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис углов треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Чтобы построить вписанную окружность, достаточно:

1. Построить биссектрисы любых двух углов треугольника и найти точку их пересечения – центр вписанной окружности.

2. Из полученной точки – центра вписанной окружности – опустить перпендикуляр на любую из сторон треугольника. Длина полученного отрезка – радиус вписанной окружности.

3. Полученным радиусом построить окружность из полученного центра.

Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Билет № 12.

1. Аксиома существования треугольника, равного данному (формулировка, чертеж, символическая запись). Доказать теорему о прямой, пересекающей одну из сторон треугольника. Требования к доказательству теорем.

А ксиома существования треугольника, равного данному. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Пусть имеется ∆АВС и луч а. Переместим ∆АВС так, чтобы вершина А совместилась с началом луча а, вершина С попала на луч а, а вершина В оказалась в заданной полуплоскости от луча а и его продолжения. Вершины треугольника в новом положении обозначим А₁, В₁ и С₁. ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁.

Теорема о прямой, пересекающей одну из сторон треугольника. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других его сторон.

Дано:  АВС; прямая p; p ∩ AB = {N}.

Доказать: p ∩ AC; p не пересекает ВС.

Доказательство:

1. Прямая p разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях, так как p ∩ AB = {N}. Точка С лежит в одной из этих плоскостей и не лежит на прямой р, так как прямая не проходит ни через одну из вершин треугольника.

2. Пусть точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В (см. рисунок). Тогда согласно аксиоме разбиения плоскости ВС не пересекает р. Зато AC ∩ p = {K}, так как точки А и С лежат в разных полуплоскостях.

3. Возможно и другое расположение точек. Пусть точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А. Тогда согласно аксиоме разбиения плоскости АС не пересекает р. Зато ВC ∩ p, так как точки В и С лежат в разных полуплоскостях.

Требования к доказательству теорем.

Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством, а утверждение, которое доказывается, - теоремой.

Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. При доказательстве теорем разрешается пользоваться аксиомами, а также уже доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.

При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.