Билеты по геометрии. 7 класс.

Билет № 1.

1. Что изучает геометрия? Разделы геометрии: планиметрия и стереометрия. Логическое строение геометрии. Что называется аксиомой, теоремой, определением? Привести примеры.

1. Геометрия – это раздел математики, который изучает пространственные отношения и формы реального мира. Термин «геометрия» происходит от греческих слов «гео» - земля и «метреу» - измерение. По свидетельству древнегреческого историка Геродота геометрия зародилась в Египте и началась с измерения земельных участков. Такие измерения египтяне были вынуждены производить постоянно из-за разливов Нила.

• Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.

2. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости, называется планиметрией. Это слово происходит от латинского planum – «плоскость». Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

3. В геометрии только самые начальные сведения берутся из практики и наблюдения, они наглядны и очевидны. Все ее дальнейшие утверждения обосновываются путем логических рассуждений. Сначала вводятся понятия, которые определить нельзя; их можно только пояснить, показать на примерах. Эти понятия являются исходными, основными. Все остальные понятия определяются через основные. Доказывая какое-то утверждение, теорему, обычно опираются на некоторые предпосылки, на то, что считается известным. Такие исходные положения – аксиомы – принимаются без доказательства и составляют основу для доказательства теорем. При этом список аксиом должен быть таков, чтобы, опираясь на них, можно было получить необходимые выводы. Список основных понятий и формулировки аксиом составляют основания планиметрии. После того как выделены основные понятия и сформулированы аксиомы, все дальнейшие утверждения выводятся чисто логическим путем. Такой способ построения научных знаний называют аксиоматическим методом.

4. Свойства геометрических фигур выражаются различными предложениями: определениями, аксиомами, теоремами, следствиями.

• Определение есть предложение, которое разъясняет данное понятие через уже известные понятия.

• Теоремой называется предложение о свойствах фигуры, истинность которых устанавливается в результате рассуждений. Эти рассуждения называются доказательствами.

• Аксиома – это предложение, которое принимают без доказательства. Аксиома – это истина, достойная признания.

• Следствием называется предложение, которое вытекает (получается) из теоремы или аксиомы.

2. Определение треугольника. Какие треугольники называются равными? Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать первый признак равенства треугольников.

Определение 1. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Элементы треугольника:

1) вершины: А, В, C;

2) стороны: АВ, ВC, АС;

3) углы:  А,  В,  C.

Обозначение треугольника: ∆ АВС.

Определение 2. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

В таком случае у них попарно равны все соответственные элементы:

АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁; ВС = В₁С₁;

А = А₁; В = В₁; С = С₁.

Обозначение равенства треугольников:

∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁.

При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника.

Равенство: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁ означает, что А = А₁; В = В₁; С = С₁.

Соответственно равенство: ∆ АВС = ∆ MNQ означает, что в этих треугольниках А = M; В = N; С = Q.

Существование треугольника, равного данному.

Пусть есть АВС и луч а. Переместим АВС так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч а, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а. Вершины полученного треугольника обозначим А₁, В₁, C₁. Треугольник А₁В₁С₁ равен треугольнику АВС.

Аксиома о существовании треугольника, равного данному. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство первого признака равенства треугольников.

По Погорелову.

Д ано: АВС и А₁В₁С₁;

А = А₁;

АВ = А₁В₁;

АС = А₁С₁.

Доказать:

АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Пусть  а1в2с2 – треугольник, равный треугольнику авс, с вершиной в2 на луче а1в1 и вершиной с2 в той же полуплоскости относительно прямой а1в1, где лежит вершина с1.

2. Так как А₁В₁ = А₁В₂, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁.

3. Так как В₁А₁С₁ =  В₂А₁С₂, то луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁.

4. Так как А₁С₁ = А₁С₂, то вершина С₂ совпадает с вершиной С₁.

5. Треугольник а1в1с1 совпадает с треугольником а1в2с2, а значит, равен треугольнику авс.

По Атанасяну.

Д ано: АВС и А₁В₁С₁;

А = А₁;

АВ = А₁В₁;

АС = А₁С₁.

Доказать:

АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Совместим вершину а1 а1в1с1 с вершиной а авс.

2. Наложим отрезок А₁С₁ на отрезок АС. Они совпадут, так как А₁С₁ = АС по условию.

3. Так как А = А₁ по условию, луч А₁В₁ накладывается на луч АВ.

4. Отрезки А₁В₁ и АВ совпадут, так как А₁В₁ = АВ по условию.

5. Вершина В₁ совпала с вершиной В, С₁ с вершиной С. Отрезки ВС и В₁С₁ совпали  ВС = В₁С₁.

6. Угол C = C₁ и В = В₁, так как они совмещаются наложением.

7.

Билет № 2.

1. Перечислить основные фигуры. Как они изображаются и обозначаются? Аксиома принадлежности точек и аксиома прямой. Сформулировать, сделать чертеж и символическую запись.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Точка не имеет размеров. Представление о точке дает след конца карандаша на листе бумаги. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, C, D….

Прямая бесконечна. Представление о прямой дает натянутая нить. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d….

Аксиомы взаимного расположения точек и прямых на плоскости.

Аксиома принадлежности точек прямой. Существует бесконечное множество точек, принадлежащих данной прямой, и бесконечное множество точек, не принадлежащих данной прямой.

Аксиома прямой. Через две различные точки можно провести прямую и притом только одну.

A  a; B  a. C  b. D  b.

Согласно аксиоме прямой прямую можно обозначать не только строчной латинской буквой, но и двумя прописными латинскими буквами: CD = b.

2. Определение серединного перпендикуляра. Доказать свойство серединного перпендикуляра.

Определение 1. Прямая, перпендикулярная к отрезку и проходящая через его середину, называется серединным перпендикуляром к данному отрезку.

Характерное свойство серединного перпендикуляра (прямая теорема). Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от его концов.

Д оказательство:

Пусть дан отрезок АВ и серединный перпендикуляр к нему n, пересекающий отрезок АВ в точке С. Возьмем произвольную точку D на серединном перпендикуляре n и соединим ее с концами отрезка АВ отрезками AD и BD.

Рассмотрим полученные треугольники AСD и ВCD.

AСD = ВCD = 90°;

АС = CВ (n – серединный перпендикуляр);

DС – общая;

AСD = ВCD (как прямоугольные по двум катетам).

 АD = ВD.

Характерное свойство серединного перпендикуляра (обратная теорема). Точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Д оказательство:

Пусть дан отрезок АВ и точка D, не лежащая на отрезке АВ и расположенная таким образом, что AD = BD.

Построим DC  AB. Рассмотрим полученные треугольники AСD и ВCD.

AСD = ВCD = 90°;

АD = ВD (по условию);

DС – общая;

AСD = ВCD (как прямоугольные по гипотенузе и катету).

 АС = СВ.

Понятие геометрического места точек.

Пусть геометрическая фигура имеет характерное свойство, определяющее, какие точки принадлежат фигуре. Тогда про эту фигуру говорят, что она является множеством точек, обладающих данным свойством (или геометрическим местом точек, обладающих данным свойством).

Определение 2. Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Билет № 3.

1 . Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве (показать на моделях и сделать чертеж; обозначение). Доказать теорему о свойстве прямых. Аксиома параллельных прямых.

На плоскости прямые либо пересекаются, либо параллельны.

Определение 1. Две прямые, не имеющие общих точек и лежащие в одной плоскости, называются параллельными.

Если прямые a и b параллельны, то пишут:

a II b.

Термин «параллельный» происходит от греческого и означает «идущий рядом».

Определение 2. Две прямые, имеющие только одну общую точку, называются пересекающимися.

Если прямые c и d пересекаются, то пишут:

с ∩ d = {T).

В пространстве прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо скрещиваются. Определение 3. Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Если прямые c и d скрещиваются, то пишут:

с d.

Теорема о свойстве прямых. Две различные прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Докажем теорему методом от противного. Предположим, что пересекающиеся прямые c и d имеют по крайней мере две общие точки. Это предположение противоречит аксиоме прямой: Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну. Следовательно, если прямые пересекаются, то они имеют только одну общую точку. Если прямые имеют две и более общих точек, то они совпадают.

Аксиома параллельных прямых и следствия из нее.

Р ассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на ней. Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а.

Проведем через точку М две прямые: прямую с, перпендикулярную прямой а, а потом прямую b, перпендикулярную прямой c. Так как прямые а и b перпендикулярны к прямой с, то они параллельны.

Выясним, можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой а. Мысленно повернем прямую b относительно точки М на малый угол. По рисунку видно, что в таком случае прямая b₁ пересечет прямую а.

Д оказать это положение на основе остальных аксиом Евклида не удавалось никому, и лишь в XIX веке было доказано, что так называемый пятый постулат Евклида является аксиомой.

Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство:

Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямая с пересекает прямую b.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство:

Пусть прямые a и b параллельны прямой с. Докажем, что a II b.

Допустим, что прямые a и b не параллельны прямой с. Тогда они пересекаются в некоторой точке M. Получается, что через точку М проведены две прямые, каждая из которых параллельна прямой с. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямые a и b параллельны.