Билет №8. «Плоскость в пространстве: общее уравнение, неполное уравнение, уравнение плоскости в отрезках, уравнение плоскости, проходящей через 3 точки»

Утверждение. Если плоскость проходит через точку компланарно двум векторам, задан­ными своими координатами в ОДСК , то уравнение плоско­сти имеет вид:

(1)

Действительно, если - произвольная точка плоскости, то векторы - компланарны. Но соотношение (1) и есть условие компланарности векторов в ОДСК.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если плоскость проходит через три точки, заданные своими координатами (коорди­наты в ОДСК), то уравнение плоскости имеет вид

(2)

Действительно, в этом случае в качестве векторов вы­ступают векторы ,

которые лежат в плоскости  и, следовательно, не ком­планарны, а вместо точки точка . Если их коорди­наты подставить в (1), то получаем соотношение (2).

Общее уравнение плоскости.

В ОДСК уравнение плоскости имеет вид

(3), то есть плоскость определяется линейным уравнением.

Действительно, раскрыв определитель (1), получим:

(*)

Преобразовывая, получим:

В виду неколлинеарности , то один из коэффициен­тов A, B, C, D отличен от нуля (по условию коллинеар­ности векторов). Справедливо и обратное утверждение: любое линейное уравнение вида (3) определяет некоторую плоскость в пространстве.

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость  отсекает на осях OX, OY, и OZ от­резки, то есть проходит через точки . Используя опреде­литель (2) плоскости, проходящей через три точки, получим:

Так как по условию плоскость не проходит через начало координат, то a,b,c не равны нулю. Разделим обе части последнего уравнения на abc:

(4)

Уравнение плоскости в ДПСК, проходящей через точку перпендикулярно некоторому вектору.

Если раскрыть определитель (1), то в получившимся уравнении (*) коэффициентами при являются

(5),

где

Компланарны ли плоскости?

Но (5) в ДПСК является координатами векторного про­изведения , то есть координатами вектора, который перпендикулярен плоскости, определяемой векторами , а следовательно, и рассматриваемой плоскости. Если его координаты обозначить , то урав­нение плоскости в ДПСК имеет вид

, где - коорди­наты точки, через которую проходит плоскость .

Вектор, перпендикулярный к плоскости, называется нормалью к ней. Так как в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B, C вновь совпа­дают с координатами нормали в ДПСК, то в этой сис­теме, зная уравнение плоскости, всегда можно указать координаты нормали к ней, так как .

Неполные уравнения плоскости.

а) Плоскость проходит через начало координат.

Если плоскость проходит через начало координат, то её координаты удовлетворяют общему уравнению плоско­сти, и её уравнение имеет вид

(*)

б) Плоскость параллельна одной из координатных осей.

Пусть, например, плоскость параллельна оси ОХ. Следо­вательно, компланарна вектору Если - ещё один вектор, то в уравнение (*) и уравнение плоскости при­мет вид . Аналогично, при параллель­ности плоскости к другим координатным осям нулю равны коэффициенты В и С.

в) Плоскость параллельна координатной плоскости.

Пусть  || XOY, следовательно, она параллельна осям OX и OY, поэтому

Аналогично рассматриваются другие случаи.

БИЛЕТ №9. «Плоскость в пространстве: взаимное расположение плоскостей, нормальное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости».

Взаимное расположение плоскостей, заданных в ОДСК.

Пусть даны две плоскости, заданные своими общими уравнениями:

Если , то эти плоскости парал­лельны между собой, но не совпадают. Это следует из того, векторы, которым компланарны плоскости, колли­неарны. Если же , то два уравнения определяют одну и ту же плоскость. В этом случае ко­ординаты всех точек, лежащих на первой плоскости, удовлетворяют уравнению второй плоскости и наоборот.

Определение взаимного расположения плоскостей в ДПСК.

Пусть в ДПСК даны две плоскости, заданные своими общими уравнениями

Тогда нормали к ним будут иметь координаты Тогда угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

Поэтому косинус угла между плоскостями может быть определён с помощью скалярного произведения

В частности, две плоскости перпендикулярны, если , и параллельны, если

Нормальное уравнение плоскости в ДПСК.

Если плоскость , то нормаль имеет координаты , тогда орт нормали ра­вен:

Пусть , тогда .

Как известно, два линейных уравнения, получающиеся одно из другого умножением на ненулевое число, определяют одну и ту же величину (плоскость). Умножая общее уравнение на нормирующий множи­тель , получим:

Обозначим это уравнение (5).

Так как р в уравнении (5) должно быть больше нуля, то соответствующим образом выбирается знак «+» или «-» перед нормирующим множителем. Уравнение (5) назы­вается нормальным уравнением плоскости, где коэффи­циенты при x, y, z являются направляющими косинусами нормали. Уравнение определено только в ДПСК.

Расстояние отточки до плоскости в ДПСК

Пусть - точка пространства, расстояние от которой до плоскости нужно найти, М - основание перпендикуляра, опущенного из точки на плос­кость, р – перпендикуляр, опущенный из начала коорди­нат на плоскость. Рассмотрим случай, когда начало ко­ординат и точка расположены по разные стороны от плоскости . В качестве нормали к плоскости рассмот­рим вектор . В данном случае он будет коллинеарен и сонаправлен с вектором :

Расстояние от точки до плоскости  равно , - орт нормали

- ска­лярное произведение вектора и орта нормали, то есть . Таким образом, в случае, когда рассматри­вается точка и начало координат, расположен­ные по разные стороны от плоскости, то расстояние до плоскости равно = . Воспользовав­шись свойствами скалярного произведения, получим:

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, в случае расположения их по разные стороны от плоско­сти, следует подставить координаты точки в нормальное уравнение плоскости. Если же точка и начало координат расположены по одну сторону от плоскости, то подста­новка координат в нормальное уравнение плоскости даёт значение, противоположное расстоянию. Эта вели­чина называется смещением точки от плоскости и обо­значается . В предыдущем случае смещение совпадает с величиной расстояния:

Объединяя два случая, получим: