Вопросы к экзамену по матанализу. 1 семестр 2012. Шведенко С. В
.pdfВопросы к экзамену по математическому анализу. (Шведенко С. В., 1 сем., 2012 г.)
1.Набор аксиом, определяющих мн-во действительных чисел.
2.Ограниченные и неограниченные мн-ва.
3.Промежутки на R и их разновидности. Принцип вложенных отрезков.
4.Комплексные числа.
5.Понятие последовательности и её предела. Св-во единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.
6.Бесконечно малые и их св-ва.
7.Арифметические операции со сходящимися последовательностями.
8.Переход к пределу в неравенствах для последовательности. Принцип сэндвича.
9.Т. о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.
10.Последовательности, определяющие число е.
11.Подпоследовательности и предельные точки. Т. Больцано-Вейерштрасса.
12.Фундаментальные последовательности и критерий Коши.
13.Определение экспоненты. основное тождество для экспоненты.
14.Определение предела ф-ции в точке. Док-во основного предела для экспоненты.
15.Док-во основного предела для синуса.
16.Эквивалентное определение предела функции через последовательность.
17.Предел суммы, разности, произведения и частного функций.
18.Односторонние пределы, пределы в бесконечности и бесконечные пределы.
19.Непрерывность ф-ции в точке и на множестве.
20.Св-во локальной ограниченности и локального сохранения знака непрерывной ф-ции.
21.Предел и непрерывность сложной ф-ции.
22.Лемма о прохождении непрерывной ф-ции через ноль.
23.Т. об ограниченности непрерывной ф-ции на отрезке (I т. Вейрштрасса).
24.Т. о достижении непрерывной ф-цией на отрезке своих точных граней (II т. Вейерштрасса).
25.Т. о пределах монотонных ф-ций.
26.Т. о промежуточных значениях монотонных ф-ций.
27.Критерий непрерывности монотонной ф-ции на промежутке.
28.Т. об обратной ф-ции.
29.Экспоненциальная ф-ция на R и обратная к ней.
30.Св-ва логарифма. Основной предел для логарифма.
31.Общее определение и св-ва степени. Основные пределы для показательной и степенной функций.
32.Понятие эквивалентности функций и его применение в вычислении пределов. Понятие главной части функции.
33.Символы о и О, их свойства и действия с ними.
34.Равномерная непрерывность ф-ции. Т. о равномерной непрерывности ф-ции, непрерывной на отрезке (т. Кантора).
35.Точки разрыва и их классификация.
36.Определение производной и дифференциала. Связь св-в дифференцируемости, существования производной с непрерывностью.
37.Производная суммы, разности, произведения, частного ф-ций. Производная сложной ф-ции.
38.Т. о производной обратной ф-ции. Примеры.
39.Св-во инвариантности формы дифференциала.
40.Понятие касательной. Вывод её уравнения.
41.Понятие асимптоты. Способы нахождения.
42.Понятие экстремума. Различные его виды.
43.Необходимое условие экстремума.
44.Т. Ролля.
45.Т. Лагранжа, следствия из неё.
46.Т. Коши.
47.Правило Лопиталя.
48.Дифференциалы высших порядков. Утрата ими св-ва инвариантности формы.
49.Многочлены Тейлора (Маклорена). Асимптотическая ф-ла Тейлора (Маклорена).
50.5 главных асимптотических разложений.
51.Ф-ла Тейлора (Маклорена) с остатками в записях Лагранжа и Коши.
52.Разложения Маклорена для exp, sin, cos.
53.Разложение Маклорена для ln.
54.Достаточное условие экстремума.
55.Определение выпуклости ф-ции. Критерий выпуклости.
56.Понятие гладкой линии (ф-ции, заданной параметрически). Производная ф-ции, заданной параметрически.
57.Дифференциал длины гладкой линии.