Экзаменационная программа по курсу «Дифференциальное исчисление»

Экзаменационная программа по курсу «Дифференциальное исчисление» для 1-го семестра 2001/02 уч. г. (факультет «Б»)

1. Основные понятия теории множеств: Множество, операции над множествами, отображения множеств, счетные и несчетные множества.

2. Действительные числа. Аксиоматика действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа. Счетность множества рациональных чисел и несчетность множества действительных чисел.

3. Точная верхняя (нижняя) грань числового множества. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у непустого ограниченного сверху (снизу) множества.

4. Теорема Кантора о последовательности вложенных отрезков.

5. Последовательность и ее предел. Свойства сходящихся последовательностей: арифметические свойства, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, переход к пределу в неравенствах, теорема о трех последовательностях, сохранение знака. Бесконечно малые (большие) последовательности и их взаимосвязь.

6. Монотонные последовательности. Существование предела у возрастающей (убывающей) ограниченной сверху (снизу) последовательности. Число е.

7. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования конечного предела последовательности.

8. Предел функции в точке. Два определения предела функции и их эквивалентность. Свойства пределов функции: арифметические свойства, единственность предела, ограниченность функции, имеющей конечный предел, переход к пределу в неравенствах, связывающих функции, теорема о трех функциях, сохранение знака функцией, имеющей отличный от нуля предел, существование предела у модуля функции, имеющей предел. Критерий Коши существования предела функции. Предел функции в бесконечно удаленной точке.

9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их взаимосвязь. Сравнение бесконечно малых (больших) функций. Два замечательных предела:

   lim(sin(x)/x), x>0; lim(1+1/x)^x, x>¥.

10. Непрерывность функции в точке. Два определения непрерывности. Свойства непрерывных функций: арифметические свойства, сохранение знака. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции и их классификация.

11. Монотонные функции. Односторонние пределы. Теорема о существовании односторонних пределов у монотонной функции.

12. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольших и наименьших значений. Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции. Достаточные условия существования и непрерывности обратной функции для функции, заданной на отрезке и на интервале. Понятие равномерной непрерывности функции. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке.

13. Производная функции. Односторонние производные. Дифференцируемость функции и ее дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

14. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производная функции, заданной параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

15. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

16. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Кафедра высшей математики