5. Алгоритм симплекс методу

1. Визначення початкового опорного плану задачі лінійного програмування.

2. Побудова симплексної таблиці.

3. Перевірка опорного плану на оптимальність за допомогою оцінок . Якщо всі оцінки задовольняють умову оптимальності, то визначений опорний план є оптимальним планом задачі. Якщо ж хоча б одна з оцінок не задовольняє умову оптимальності, то переходимо до нового плану або ж встановлюємо, що оптимального плану нема.

4. Перехід до нового опорного плану задачі здійснюється визначенням розв’язувального елемента та розрахунку елементів нової симплекс таблиці.

5. Повторення дій, починаючи з пункту (3).

У разі застосування симплекс методу до розв’язування задач лінійного програмування можливі такі випадки:

1. Якщо в оцінковому рядку останньої симплекс таблиці =0 відповідає вільній (небазисній) змінній, то це означає, що задача лінійного програмування має альтернативний оптимальний план. Отримати його можна, вибравши розв’язувальний елемент у зазначеному стовпці таблиці та здійснивши 1 крок симплекс методу.

2. Якщо при переході у симплекс метод від одного опорного плану задачі до іншого, в напрямному стовпчику немає додатних елементів , тобто неможливо вибрати змінну, яка має бути виключена з базису, то це означає, що цільова функція задачі є необмеженою і оптимальних планів не існує.

3. Якщо для опорного плану задачі оцінки задовольняють умову оптимальності, але при цьому хоча б одна штучна змінна є базисною і має додатне значення, то це означає, що система обмежень задачі несумісна й оптимальних планів такої задачі не існує.

Скiнченнiсть симплекс-методу

ЗЛП будемо називати невиродженою, якщо невиродженими є всі її базисні розв'язки. Розглянемо спочатку невироджену ЗЛП. Якщо вона записана у канонічній формі

то це означає, що величини строго додатні. При цьому додатною є також величина

Оскiльки значення цільової функції у двох послідовних iтерацiйних точках та пов'язані співвідношенням

причому Звiдси, приймаючи до уваги, що число вершин допустимої множини скiнченне, приходимо до висновку про скінченність симплексного методу.

У випадку виродженої ЗЛП одна або декілька базисних змінних базисного розв'язку можуть бути рівними нулю. При цьому i, отже,

Це може привести до того, що на протязі ряду iтерацiй симплекс-методу буде розглядатися одна i та ж вершина, а змінюватимуться лише базисні вектори, що відповідають нульовим базисним змінним i можливе повернення до початкового базису, що відповідає цій вершині. Таке явище називається за циклюванням симплексного методу. Можливiсть зациклювання є реальною лише тоді, коли для розглядуваного базисного розв'язку принаймні дві базисні змінні дорівнюють нулю. У цьому випадку існує неоднозначність при виборі вектора, що підлягає виведенню з базисних при Така ж неоднозначність може мати місце i для невиродженого базисного розв'язку. Однак у цьому випадку i новий базисний розв'язок приводить до зменшення значення цільової функції. При цьому, внаслідок згаданої неоднозначності, новий базисний розв'язок буде виродженим.

Незважаючи на те, що при розв'язуванні практичних задач зациклювання симплекс-методу не зустрічалося i що побудовано лише декілька штучних прикладів, де це явище має місце, розроблені різні методи його попередження (виходу з циклу). Зроблені вище зауваження свідчать про те, що будь-який з цих методів має гарантувати однозначність вибору вектора, що підлягає виведенню з базисних.