Лабораторная работа №2 Исследование устойчивости систем автоматического регулирования по алгебраическим критериям

Цель работы: исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по алгебраическим критериям Рауса и Гурвица.

Теоретическая часть

В теории автоматического регулирования наибольшее применение из алгебраических критериев устойчивости получили критерии Рауса и Гурвица. Эти критерии позволяют по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы без вычисления его корней сделать вывод об устойчивости системы. Общий вид характеристического уравнения следующий:

,

здесь _i – постоянные коэффициенты, содержащие информацию о САУ.

Критерий устойчивости Рауса

Применение критерия устойчивости Рауса требует составления таблицы. Число строк таблицы равно степени характеристического уравнения плюс единица. В первой строке записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс во второй строке - с нечетным индексом ...

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяется из рекурентного соотношения

, где .

Таблица Рауса

Номер	Номер столбца
строки	1	2	3	k
1				...
2				...
3				...
4				...
	...	...	...	...

Условие устойчивости: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводят к такому виду, когда >0, для устойчивости системы все остальные элементы первого столбца должны быть положительными.

При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы Рауса система не устойчива. Число таких элементов равно числу корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, а остальные элементы положительные, система на границе устойчивости – характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней.

При равенстве нулю последнего (n+1)-го элемента или  последних элементов первого столбца система также на границе устойчивости - характеристическое уравнение имеет одну или  пар нулевых корней.

Критерий устойчивости Гурвица

При использовании этого критерия из коэффициентов характеристического уравнения системы составляют таблицу

По диагонали таблицы от левого верхнего угла выписывают по порядку все коэффициенты, начиная с и заканчивая . Затем каждый столбец таблицы дополняют так, чтобы вверх от диаго­нали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз — умень­шались. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффи­циента и вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и больше n пишут нуль.

Критерий можно сформулировать так: система устойчива, если при > 0 положительны и п диагональных миноров Гурвица, т.е.

; ; ; ; .

Это необходимое и достаточное условие устойчивости.

Предпоследнее неравенство есть , поэтому по­следнее неравенство сводится к > 0.

Система находится на границе устойчивости, если и все предыдущие определители Гурвица положительны. Условие распадается на два: = 0 (апериодическая граница устойчивости, нейтральная устойчивость) или (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая, например, определители Гурвица для характеристических уравнений третьего, четвертого и пятого порядков, можно получить следующие условия устойчивости:

для системы третьего порядка

, , , , ;

для системы четвертого порядка

, , , , , ;

для системы пятого порядка

, , , , , ;

;

.

Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принять за неизвестный один какой-либо параметр и определить его предельное значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

В случае применения критериев Рауса и Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в эти критерии неравенства.