Взаимное расположение геометрических фигур
В начертательной геометрии из взаимного расположения геометрических фигур наибольший интерес представляет их принадлежность друг другу и пересечение, а также частные случаи взаимного расположения, например, скрещивающиеся и параллельные прямые, эквидистантные линии и поверхности, плоскости касательные к поверхности.
Взаимная принадлежность геометрических фигур
Принадлежность точки и линии является одним из основных свойств параллельных проекций, которое позволяет сформулировать условие принадлежности точки и поверхности и далее линии и поверхности.
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии этой поверхности. Следовательно, для построения точки на поверхности необходимо сначала построить линию на ней, а затем точку, принадлежащую этой линии.
На рис. 18 показана точка A, принадлежащая плоской, конической и сферической поверхностям, так как она задана на линиях этих поверхностей: на плоскости Γ(p ∩ l) точка А принадлежит прямой p, на конической поверхности образующей SK, а на сферической принадлежит окружности q.
Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат соответствующим линиям этой поверхности. На рис. 19 показана линия, расположенная на цилиндрической поверхности Σ. Она задана дискретным рядам точек (A, B, C, D, E, F), принадлежащих образующим этой поверхности.
Рис. 18
Рис. 19
Примеры принадлежности линии различным поверхностям показаны на комплексных чертежах (рис. 20):
прямая AB принадлежит плоскости Σ(m ∩ n) (рис. 20, а);
прямая SK - конической поверхности (рис. 20, б);
эллипс q - цилиндрической поверхности (рис. 20, в).
Рис. 20
Пересечение линий
Необходимым и достаточным условием пересечения линий является наличие общей для них точки, например, A = p ∩ l (рис 21).
Рис. 21
Если общая точка не задана, то необходимым условием пересечения линий является их принадлежность одной поверхности, так как только в этом случае они имеют возможность пересечься. Это важное положение потребуется в дальнейшем для построения общих элементов пересекающихся геометрических фигур, например, для построения точки пересечения прямой с плоскостью и др.
Перпендикулярные прямые
Частным случаем взаимного расположения прямых является их перпендикулярность. Это имеет отношение не только к пересекающимся, но и к скрещивающимся прямым, так как угол между ними измеряют углом между пересекающимися прямыми, которые параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Для того чтобы научиться строить перпендикулярные прямые на комплексном чертеже, докажем следующую теорему: прямой угол, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, проецируется в натуральную величину.
Доказательство проведем относительно горизонтальной плоскости проекций (рис. 22). По условию прямая h (горизонталь) пересекает прямую l и скрещивается с p под углом 900. При этом она перпендикулярна плоскости Σ, образованной пересекающимися прямыми l и AA1. В этой плоскости расположены также прямая p и горизонтальные проекции l1 и p1 заданных прямых. Следовательно, горизонталь h перпендикулярна проекциям l1 и p1. Поскольку по условию h || h1, то h1 l1 и h1 p1 , что и требовалось доказать (рис. 22, а).
Для построения на комплексном чертеже перпендикулярных прямых, необходимо одну из них расположить параллельно плоскости проекций, а другую в общее положение, соблюдая перпендикулярность их соответствующих проекций. Например, на рис. 22, б прямая h горизонталь, а l и p прямые общего положения. При этом горизонтальные проекции их перпендикулярны, т. е. h1 l1 и h1 p1. Это говорит о том, что в пространстве прямая h пересекает l и скрещивается с прямой p под углом 900.
Рис. 22
Аналогичные рассуждения можно провести относительно фронтальной и профильной плоскостей проекций. В этих случаях одной из сторон прямого угла должна быть фронталь или прямая профильного уровня, а другой стороной угла прямая общего положения.
Рис. 23
На рис. 23 приведены примеры перпендикулярных прямых на комплексных чертежах скрещивающихся f и m (рис. 23, а), пресекающихся f и n (рис. 23, б) , p и q (рис. 23, в).