Расположение геометрических фигур относительно плоскостей проекций

Различают общее и частное положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Под общим понимают произвольное расположение геометрической фигуры. Частное – это особое положение, при котором проекции фигуры имеют определенные свойства ее характеризующие. Например, проекция отрезка прямой равна величине самого отрезка. Очевидно, в этом случае прямая должна быть параллельна плоскости проекций.

Рис. 11

На рис. 11 приведены комплексные чертежи отрезков прямых AB и CD. Прямая AB занимает общее положение относительно плоскостей проекций, так как нет никаких особенностей в изображении ее проекций, а прямая CD частное, которое характеризуется равенством ее проекций, т. е. C₁D₁ = C₂D₂. Это говорит о том, что прямая CD расположена под равными углами относительно горизонтальной (α) и фронтальной (β) плоскостей проекций, так как C₁D₁ = CD cos α, а C₂D₂ = CD cos β. Следовательно α = β.

Проецирующие геометрические фигуры

Геометрические фигуры, направление которых совпадает с направлением проецирования, называют проецирующими. Ими могут быть не только прямая, но и поверхности, содержащие семейства параллельных прямых, которые можно расположить в направлении проецирования. Такими поверхностями являются: плоская (Λ), призматическая (Δ) и цилиндрическая (Σ) (рис. 12).

Рис. 12

Проецирующие геометрические фигуры имеют следующие свойства своих проекций:

1. На соответствующей плоскости проекций, проецирующая геометрическая фигура изображается в виде более простой фигуры, т.е. имеет вырожденную проекцию, так как прямые семейства параллельных прямых геометрической фигуры изображаются на плоскости проекций в виде точек. Например, каждая прямолинейная образующая цилиндрической поверхности Σ проецируется на плоскость Π₁ в точку. Совокупность этих точек определят кривую линию Σ₁ (см. рис. 12).

2. На комплексном чертеже проецирующая геометрическая фигура может быть задана одной своей вырожденной проекцией, так как в этом случае однозначно решается вопрос о принадлежности ей любой точки пространства. Например, прямая l может быть задана проекцией l₁, а плоскость Λ проекцией Λ₁ (см. рис. 12).

На рис. 13 представлены комплексные чертежи горизонтально проецирующих геометрических фигур: прямой l, поверхностей: плоской Λ, призматической Δ и цилиндрической Σ.

Рис. 13

По отношению к фронтальной плоскости проекций, рассматриваемые геометрические фигуры называют фронтально проецирующими, а к профильной – профильно проецирующими.

На рис. 14 приведены чертежи фронтально проецирующих фигур: прямой p, плоскостей ABC и Γ. Плоскость Γ задана вырожденной фронтальной проекцией Γ₂.

Рис. 14

Геометрические фигуры уровня

Геометрические фигуры, все точки которых расположены на одинаковом расстоянии от плоскости проекций, называют фигурами уровня. Очевидно, ими могут быть только плоские линии (в том числе прямая) и плоскость. При этом прямая и плоскость уровня являются фигурами параллельными соответствующим плоскостям проекций.

На рис. 15 показаны геометрические фигуры уровня относительно горизонтальной плоскости проекций: кривая линия l, прямая AB и плоскость KLM.

Рис. 15

Геометрическая фигура уровня имеет следующее важное свойство своих проекций:

- на соответствующую плоскость проекций геометрическая фигура уровня изображается в натуральную величину, а на другую плоскость проекций в виде прямой, расположенной перпендикулярно линиям связи.

Доказательство этого свойства рекомендуется провести самостоятельно, используя при этом знания элементарной геометрии.

На рис. 16 представлены комплексные чертежи окружности l, прямой АВ и плоскости KLM, которые являются фигурами горизонтального уровня. Величины горизонтальных проекций в этих примерах равны величинам самих геометрических фигур в пространстве, т. е. l₁ = l, A₁B₁ = AB и K₁L₁M₁ = KLM.

Рис. 16

По отношению к фронтальной плоскости проекций, рассматриваемые геометрические фигуры называют фигурами фронтального уровня, а профильной – профильного уровня.

Для прямых горизонтального и фронтального уровня используют специальные термины соответственно горизонталь и фронталь.

Рис. 17

На рис. 17 изображены фронталь CD и плоскости фронтального уровня EFG и Λ. Плоскость Λ в данном примере задана одной вырожденной горизонтальной проекцией Λ₁.

Следует отметить, что проецирующие прямые l и p, изображенные на рис. 13 и 14, одновременно параллельны двум другим плоскостям проекций. Например, горизонтально проецирующая прямая l (см. рис. 13) является также фронталью и прямой профильного уровня, вследствие чего ее проекции имеют еще и свойство фигур уровня относительно плоскостей проекций Π₂ и Π₃.

Подобная ситуация возникает у плоскостей уровня (см. рис. 16 и 17), которые перпендикулярны одновременно двум другим плоскостям проекций, т. е. являются проецирующими. Например, плоскость горизонтального уровня (см. рис.16) является также фронтально и профильно проецирующей и, следовательно, ее проекции имеют свойства проецирующих геометрических фигур относительно плоскостей проекций Π₂ и Π₃.

Вопросы для самопроверки

1. Определителем, какого многогранника являются четыре точки, фиксированные в пространстве и не лежащие в одной плоскости?

2. Определителем, какой кривой поверхности являются четыре точки, фиксированные в пространстве и не лежащие в одной плоскости?

3. Почему проецирующую плоскость можно задать на комплексном чертеже одной ее вырожденной проекцией?

4. При каком расположении горизонталь может быть прямой профильного уровня?

Лекция 3