Некоторые особые случаи пересечения поверхностей

1. Поверхности цилиндров (призм) с параллельными образующими (ребрами) и конусов и пирамид с общей вершиной пересекаются по прямым.

На рис. 52, а приведен пример пересечения на наглядном чертеже поверхностей двух цилиндров по образующим l и p, а на рис. 52, б поверхностей пирамиды и конуса по прямым SA и SB. Очевидность этих случаев пересечения не требует доказательства.

Рис. 52

2. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекутся и еще по одной плоской кривой второго порядка.

На рис. 53, а приведен пример пересечения на комплексном чертеже (показана только фронтальная проекция) поверхностей эллиптического конуса с круговым основанием и сферы по двум окружностям p и l.

3. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в нее), то они пересекаются между собой по двум кривым второго порядка (рис. 53, б). Это положение известно под названием теорема Монжа.

На рис. 53, б показан пример на комплексном чертеже, где пересекаются цилиндрическая и коническая поверхности вращения по двум эллипсам. В этом случае обе поверхности касательные к общей сфере.

Рис. 53

Следует отметить, что плоскости симметрии Σ (Ο, q) и Γ(i ∩ j) в примерах, приведенных на рис. 53, а и б, параллельны фронтальной плоскости проекций.

Доказательства второго и третьего особых случаев пересечения поверхностей рекомендуется посмотреть в курсах аналитической геометрии [2].

4. Соосные поверхности вращения (т. е. поверхности с общей осью) пересекаются по окружностям (рис. 54, а и б).

Действительно при вращении образующих p, l и q вокруг оси i каждая их точка, например, А и В, осуществляет движение по окружности. То же самое происходит и с точками Е и F, находящимися в пересечении образующих поверхностей. Траектории вращения этих точек представляют собой линии пересечения рассматриваемых поверхностей (рис. 54, а).

Рис. 54

В примерах приведенных на рис. 54, а и б даны лишь фронтальные проекции. Причем оси поверхностей вращения i и j расположены параллельно плоскости проекций П₂, вследствие чего окружности, получаемые при пересечении заданных поверхностей, изображаются на эту плоскость проекций в виде прямых.

За ось сферы (см. рис. 54, б) можно принять любой ее диаметр. Поэтому сфера соосна одновременно с конической (ось i) и цилиндрической поверхностями (ось j).

Применение сферических посредников для построения линии пересечения поверхностей

Сферические посредники рационально использовать в том случае, если пересекающиеся поверхности имеют общую плоскость симметрии, и каждая из них несет на себе семейство окружностей, по которым их могут пересечь концентрические или эксцентрические сферы общие для обеих поверхностей.

Для реализации на комплексном чертеже этого положения необходимо при этом, чтобы общая плоскость симметрии пересекающихся фигур была параллельна какой-либо плоскости проекций.

Из поверхностей, имеющих семейство (одно и более) окружностей, отметим поверхности вращения и эллиптические поверхности, которые наиболее часто встречаются в практике. Для построения линии пересечения таких поверхностей используют, как отмечалось ранее, концентрические или эксцентрические сферические посредники, выбор которых связан с конкретным видом заданных геометрических фигур и их взаимным расположением.

Концентрические сферические посредники можно использовать только в том случае, если пересекаются поверхности вращения, оси которых также пересекаются. Это связано с тем, что центр вспомогательных сфер должен лежать одновременно на осях обеих поверхностей, т. е. в точке их пересечения, так как только в этом случае сферы будут соосны с заданными поверхностями и пересекут их по окружностям.

На рис. 55, а показана на комплексном чертеже фронтальная проекция пересекающихся цилиндрической и конической поверхностей вращения, общая плоскость (i ∩ j) симметрии которых параллельна плоскости Π₂. Следовательно, фронтальные очерки заданных поверхностей, расположенных в этой плоскости, пересекутся. Точки их пересечения, проекции которых обозначены на чертеже буквами А₂ и В₂, являются наиболее удаленными относительно горизонтальной плоскости проекций. Расстояние от точки (О) пересечения осей до точки А (или В) в данной задаче определяет радиус максимальной сферы R_max, необходимой для решения задачи.

Рис. 55

В общем случае радиус максимальной сферы (R_max) определяют по чертежу величиной расстояния от точки пересечения осей поверхностей вращения до наиболее удаленной точки в пересечении очерков.

Сфера минимального радиуса (R_min) должна быть касательная к одной поверхности, а другую пересекать, так как любая сфера, радиус которой меньше R_min, не пересечет одну из поверхностей и поэтому не сможет служить в качестве посредника.

С помощью сферы минимального радиуса определяем точки C и D наиболее приближенные к горизонтальной плоскости проекций, для чего строим линии пересечения (окружности) этой сферы с цилиндрической и конической поверхностями. По отношению к цилиндрической поверхности окружность образуется в результате касания сферы минимального радиуса и цилиндрической поверхности.

Плоскости построенных окружностей перпендикулярны соответствующим осям заданных поверхностей и изображаются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков прямых вследствие того, что общая плоскость симметрии (i ∩ j) параллельна фронтальной плоскости проекций.

В итоге вспомогательная сфера минимального радиуса включает в себя две окружности, пересекающиеся между собой в двух точках C и D (см. рис. 55, а).

Для построения случайных точек следует использовать сферы, радиусы которых расположены в интервале между R_min и R_max. В качестве примера на рис 55, а построены точки 1, 2 и 3, 4.

Рассмотрим еще один пример (рис. 55, б), где пересекаются цилиндрическая поверхность вращения с осью j и поверхность эллиптического конуса, основание которого окружность, отмеченная знаком . Очевидно, что сечения поверхности эллиптического конуса плоскостями, параллельными основанию, будут окружности, множеством центров которых является прямая q.

Ось цилиндра j и прямая q, пересекаясь между собой, определяют плоскость симметрии, расположенную параллельно фронтальной плоскости проекций.

Исходные условия в приведенном примере позволяют сделать вывод о возможности применения сферических посредников для построения линии пересечения заданных поверхностей.

Наиболее удаленные от горизонтальной плоскости проекций точки А и В находятся в общей плоскости симметрии пересекающихся поверхностей и, следовательно, в пересечении фронтальных очерков. Построение наиболее приближенных к Π₁ точек С и D показано на комплексном чертеже (см. рис. 55, б).

Рассмотрим последовательность построения случайных точек в данном примере:

1. Пересекаем коническую поверхность плоскостью Γ¹ по окружности радиуса r¹ с центром в точке К¹. Плоскость Γ¹ расположена в интервале между экстремальными точками А, В и С, D.

2. Из точки К¹ проводим перпендикуляр к плоскости Γ¹ до пересечения его с осью цилиндра (точка О¹⁾. Этот перпендикуляр является множеством центров сфер, которые могут включать в себя заданную на конической поверхности окружность радиусом r¹.

3. Строим вспомогательную сферу радиусом R¹ с центром в точке О¹, включающую в себя заданную на конической поверхности окружность плоскостью Γ¹. Следовательно, эта сфера, соосная с цилиндрической поверхностью, содержит в себе окружность на конусе.

4. Определяем две окружности в пересечении вспомогательной сферы с цилиндрической поверхностью вращения. Они изображаются на плоскость Π₂ в виде прямолинейных отрезков, перпендикулярных оси цилиндра.

5. Находим точки пересечения (1, 2 и 3, 4) построенных окружностей на цилиндрической поверхности с окружностью, заданной на конусе.

Для построения других случайных точек следует повторить указанную последовательность для новой окружности на конической поверхности и так далее. При этом центры вспомогательных сфер каждый раз будут находиться в разных местах оси цилиндра. Такие сферы в этом случае называю эксцентрическими.

В заключении следует подчеркнуть, что использование сферических посредников позволяет строить линии пересечения поверхностей указанного класса используя только одну проекцию. Это важно с практической точки зрения, так как в конструкторской работе поверхности вращения чаще всего изображают одной проекцией.

Вопросы для самопроверки

1. В каком случае поверхности треугольных призм пересекутся по двум треугольникам?

2. Как построить вершины линии пересечения многогранных поверхностей?

3. Назовите плоские линии, которые могут получиться в пересечении граней треугольной призмы с конической поверхностью вращения, если ребра призмы параллельны оси?

4. Что собой представляет в общем случае линия пересечения поверхностей второго порядка?

5. В каком случае кривые и многогранные поверхности пересекаются по прямым линиям?

6. Когда поверхности вращения пересекаются по окружностям?

7. Могут ли поверхности вращения пересекаться по гиперболам и параболам?

8. Назовите условия использования сферических посредников для построения линии пересечения поверхностей?

9. Как определить максимальный и минимальный радиусы сферического посредника для построения линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями?

10. Какие преимущества имеют сферические посредники по сравнению с плоскими при построении линии пересечения поверхностей при прочих равных условиях?

С геометрической точки зрения винтовую линию можно рассматривать как траекторию, образованную поступательным движением точки по меридиану поверхности вращения, в то время как меридиан вращается относительно оси поверхности. Такое сложное движение точки, состоящее из поступательного и вращательного движений, называют винтовым.

Рис. 58

Пусть точка А принадлежит некоторой поверхности вращения (рис. 58). Представим, что эта точка совершает поступательное движение по меридиану l и вращательное вокруг оси Оz. Тогда в некоторый момент времени, повернувшись на угол φ¹ и пройдя путь z¹ в направлении оси Oz, точка А займет положение А¹. Поскольку винтовое движение непрерывно, точка опишет траекторию АА¹, представляющую собой участок винтовой линии, название которой соответствует названию поверхности вращения, например, цилиндрическая винтовая линия, если поверхность вращения цилиндрическая.

Винтовая линия характеризуется законом винтового движения z = f(φ), который устанавливает функциональную зависимость между поступательным и вращательным движениями точки [3, 4].

На рис. 58 показано несколько положений меридиана l с находящейся на нем точкой А. Участок ААⁿ винтовой линии, который точка проходит за один оборот (φ = 360⁰), называют витком.

Винтовая линия характеризуется еще ходом и направлением.

Ходом называют расстояние (P) которое проходит точка (А) за один оборот в направлении оси поверхности (см. рис. 58). Величина хода может быть постоянной или переменной, что зависит от отношения скоростей поступательного и вращательного движений точки (или вида закона винтового движения). Например, при равномерности обоих движений образуется винтовая линия с постоянным ходом, а при ускоренном поступательном движении и равномерном вращательном образуется винтовая линия с переменным ходом. В этих случаях функциональная зависимость в законе винтового движения соответственно линейная и нелинейная.

У винтовой линии различают два направления  правое и левое.

Направление винтовой линии называют правым, если точка, вращаясь по часовой стрелке, удаляется от наблюдателя, а при вращении против часовой стрелки  левым.

Из винтовых линий чаще всего встречаются цилиндрические, конические, сферические и торовые. Их названия соответствуют названиям поверхностей, на которых они образованы.

В качестве примера рассмотрим построение на комплексном чертеже цилиндрической (рис. 59, а) и конической (рис. 59, б) винтовых линий с постоянным ходом. Цилиндрическую винтовую линии в этом случае называют гелисой. Исходными условиями для построения гелисы в общем случае являются:

• радиус цилиндрической поверхности (R);

• ход винтовой линии (Р);

• направление (правое или левое);

• начало винтовой линии на цилиндрической поверхности – точка А.

Рис. 59

Для построения гелисы делим ход Р и окружность, на которой находится точка А, на одинаковое число частей (удобно с графической точки зрения деление на 6, 8, 12, 24 и 48 частей). Это обеспечивает равномерность поступательного и вращательного движения точки, а, следовательно, и постоянство хода. Построение гелисы левого направления приведено на рис. 59, а.

Гелиса, которая является одной из самых интересных пространственных линий в геометрии, имеет ряд существенных свойств. Она является геодезической линией цилиндрической поверхности вращения. Геодезической называют линию, определяющую кратчайшее расстояние между двумя точками по поверхности. На развертке любой поверхности такая линия изображается в виде прямой. Гелиса также является линией одинакового наклона относительно плоскости, перпендикулярной к оси поверхности вращения. Кроме того, она обладает свойством сдвигаемости, т. е. участок гелисы можно сдвинуть вдоль самой линии без изменения ее геометрии. Это объясняется постоянством кривизны данной линии. Из известных нам линий такое же свойство имеют прямая и окружность.

На горизонтальную и фронтальную плоскости проекций построенная гелиса изображается соответственно в виде окружности и косинусоиды (или синусоиды) [3].

Для построения конической винтовой линии постоянного хода исходными данными являются:

• радиус (R) основания и высота (H) конуса;

• ход винтовой линии (Р);

• направление (правое или левое);

• начало винтовой линии на конической поверхности – точка А.

Последовательность построения на комплексном чертеже конической винтовой линии с постоянным шагом аналогично построению гелисы. На рис. 59, б изображена коническая винтовая линия правого направления, величина хода которой равна высоте конуса, т. е. P = H.

Проекции такой линии на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций соответственно спираль Архимеда и косинусоида (или синусоида) с убывающей амплитудой [3].

Винтовой называют поверхность образованную винтовым движением образующей. В качестве направляющей выступает винтовая линия, название которой определяет название поверхности. При этом, очевидно, что каждая точка образующей будет совершать также соответствующее винтовое движение. Ход и направление винтовой поверхности определяются ходом и направлением винтовой направляющей.

В зависимости от вида образующей (прямая или кривая) винтовые поверхности разделяют на линейчатые и нелинейчатые.

Винтовую поверхность называют закрытой, если образующая (прямолинейная или криволинейная) пересекает ось, и открытой, если ее не пересекает.

На рис. 60, а показан участок некоторой линейчатой, закрытой винтовой поверхности правого направления, которая образована прямолинейной образующей АВ, пересекающей ось Oz винтовой направляющей.

Если прямолинейная образующая перпендикулярна оси, то винтовую поверхность называют прямой. Если не перпендикулярна – косой.

Среди линейчатых винтовых поверхностей наибольший интерес представляют поверхности с направляющей цилиндрической винтовой линией гелисой. Такие поверхности называют геликоидами.

На рис. 60, б показан участок нелинейчатой, открытой винтовой поверхности правого направления, образующая которой – окружность – перемещается так, что ее центр ( точка К) принадлежит винтовой направляющей  гелисе, а плоскость окружности нормальна к ней. Такую винтовую поверхность называют нормальным круглым цилиндром. Из всего многообразия нелинейчатых винтовых поверхностей эта поверхность наиболее часто встречается в технике, например, в пружинах.

Рис. 60

На рис. 61 приведен комплексный чертеж прямого закрытого геликоида левого направления, образующая которого задана отрезком прямой АО, а направляющей служит цилиндрическая винтовая линия гелиса. При построении винтовой поверхности ход Р и окружность радиуса R разделены на двенадцать частей. Дальнейшие действия ясны из чертежа и не требуют комментариев.

Если в качестве образующей винтовой поверхности взять плоский контур, расположенный в меридиональной плоскости, и перемещать его по винтовой направляющей, то образуется геометрическое тело, которое в технике называют винтовым выступом, а плоский контур, его образующий – профилем. Сочетание винтового выступа и цилиндра называют винтом, например, резьбовые участки болтов, винтов, шпилек.

Рис. 61

Рис. 62

На рис. 62, в качестве примера, показаны теоретические профили резьб общего машиностроения. Каждому стандартному профилю, определяющему конкретный тип резьбы, присваивается соответствующее буквенное обозначение.

Треугольный профиль с углом 60⁰ встречается в стандартных метрических резьбах и обозначается латинской буквой М, а профиль с углом 55⁰ используется в стандартных дюймовых резьбах с буквенными обозначениями G (трубная цилиндрическая) и R (трубная коническая).

Стандартный круглый профиль цилиндрической резьбы обозначается буквами Кр русского алфавита.

Следующие резьбовые профили, имеющие форму трапеции, называют трапецеидальным и упорным. Они обозначаются латинскими буквами соответственно Tr и S.

Прямоугольный профиль не имеет буквенного обозначения, так как данная резьба не стандартизована.

С различными типами винтов и их построением на комплексном чертеже следует ознакомиться в соответствующей литературе [1, 2, 4].

Вопросы для самопроверки

1. Что представляет собой винтовое движение точки?

2. Чем определяется название винтовых линий?

3. Назовите основные параметры, характеризующие винтовую линию?

4. Какое условие определяют винтовую линию с постоянным ходом?

5. Какие свойства имеет гелиса?

6. Как образуется винтовая поверхность?

7. Назовите основные параметры, характеризующие винтовую поверхность?

8. Какую поверхность называют геликоидом?

9. Чем отличаются поверхности открытого и закрытого геликоидов?

10. Приведите примеры реальных изделий, где встречаются винтовые поверхности?