Перпендикулярность и параллельность прямой и плоскости

Построение прямой, перпендикулярной плоскости, осуществляется на комплексном чертеже на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости - если прямая (l) перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых (m, n) лежащих в плоскости (Σ), то прямая (l) и плоскость (Σ) взаимно перпендикулярны (рис. 36, а).

Для реализации признака на комплексном чертеже в качестве двух пересекающихся прямых всегда необходимо брать прямые уровня, например фронталь и горизонталь, так как только в этом случае оба прямых угла изобразятся на соответствующие плоскости проекций в натуральную величину.

Рис. 36

На рис. 36, б показано построение прямой l, проходящей через точку А и перпендикулярной к фронтали f и горизонтали h плоскости Σ(m ∩ n), так как l₂  f₂, а l₁  h₁. Поэтому заданная прямая l перпендикулярна плоскости Σ и, следовательно, любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе m и n.

Возможно построение на комплексном чертеже плоскости перпендикулярной к прямой на основании обратного признака перпендикулярности прямой и плоскости – если две пересекающиеся прямые (h, f) плоскости (Σ) перпендикулярны прямой (l), то плоскость (Σ) и прямая (l) перпендикулярны (рис. 37, а).

На рис. 37, б приведено построение на комплексном чертеже плоскости Σ, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку А. В этом случае плоскость Σ задаем пересекающимися в точке А прямыми уровня f и h, которые перпендикулярны прямой l.

Рис. 37

Рис. 38

Построение прямой, параллельной плоскости, на комплексном чертеже осуществляется на основании признака параллельности прямой и плоскости. Если прямая (l) параллельна какой-либо прямой (m), лежащей в плоскости Σ(m ∩ n), то данная прямая (l) и плоскость (Σ) параллельны (рис. 38, а).

На рис. 38, б изображена на комплексном чертеже прямая l, проходящая через точку А и параллельная прямой m плоскости Σ(m ∩ n), т. е. l₂ || m₂, а l₁ || m₁. Следовательно, прямая l параллельна плоскости Σ.

Пересечение плоскостей

Результатом пересечения двух плоскостей является прямая, которая определяется двумя общими для заданных плоскостей точками. Для определения на комплексном чертеже этих точек необходимо дважды применить рассмотренный ранее алгоритм построения общих элементов пересекающихся геометрических фигур.

На рис. 39, а и б показан пример построения на наглядном и комплексном чертежах прямой (l) пересечения плоскостей Σ(m || n) и Λ(p ∩ q).

Рис. 39

В качестве посредников для упрощения графического решения задачи на комплексном чертеже использованы проецирующие параллельные плоскости Φ¹ и Φ², так как в пересечении их с заданными плоскостями получаются параллельные прямые (12 || 56 и 34 || 78). Поэтому построения горизонтальных проекций линий пересечения (56 и 78) для посредника Φ² можно использовать только по одной точке, например, 5 и 7 (см. рис. 39, б).

Алгоритм построения одной из двух точек (Е), определяющих линию пересечения ЕF, выглядит следующим образом:

1) Φ¹ – вспомогательная фронтально проецирующая плоскость (посредник);

2) строим пересечение посредника с заданными плоскостями – Φ¹ ∩ Σ(m || n) = 12 и Φ¹ ∩ Λ(p ∩ q) = 34;

3) определяем точку пересечения построенных линий – E = 12 ∩ 34.

Подобным образом строят вторую точку (F) линии пересечения заданных плоскостей используя посредник Φ².