2.3. Дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

Идеальной жидкостью называется жидкость абсолютно несжимаемая, обладающая абсолютной подвижностью частиц и не имеющая вязкости. Анализ движения такой жидкости позволит выяснить основные закономерности, которые после учета сил трения дадут возможность производить расчеты потока.

В ырежем в жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz и отбросим окружающую жидкость. Заменим воздействие окружающей жидкости на параллелепипед силами (рис. 2.3)

рис. 2.3

На грань 1234 действует сила

.

(2.13)

На грань 5678

.

(2.14)

Массовая сила G в проекции на ось х запишется следующим образом

,

(2.15)

где Х – проекция ускорения массовой силы на ось х.

Применим к рассматриваемому элементу теорему количества движения. Изменение количества движения массы жидкости, сосредоточенной внутри объема, происходит вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, занимает с течением времени новое положение и приобретает новую скорость, а также потому, что в каждой точке пространства скорость меняется во времени.

Введем импульс массовых сил в проекции на ось х

.

(2.16)

Тогда суммарный импульс равен изменению количества движения:

.

Следовательно

.

(2.17)

Аналогично для других осей

	,	(2.18)
	.

Таким образом получим дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

		(2.19)

Уравнения (2.19) показывают, что ускорение жидкого элемен­та вызывается соответствующими изменениями сил давления, дейст­вующих на этот элемент, и массовыми силами.

Уравнения Эйлера могут быть при известных условиях проинтег­рированы. Пусть имеет место стационарное течение. Умножим левую и правую часть каждого уравнения соответственно на dx , dy, dz и произведём почленное сложение:

.

(2.20)

Предположим, что в жидкости действуют только силы тяжести. Тогда

(2.21)

Для установившегося движения, когда p=f(x,y,z)

.

(2.22)

Так как , то

.

(2.23)

Итак, дифференциальное уравнение (2.20) примет вид

.

(2.24)

Или

.

(2.25)

Отсюда интеграл примет вид

.

(2.26)

Это выражение представляет собой уравнение (интеграл) Бернулли для установившегося течения струйки несжимаемой жид­кости. В этом уравнении – геометрический и пьезометрический напоры, – скоростной или динамический напор.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, сумма скорост­ного, пьезометрического и геометрического напоров есть величина постоянная для любых сечений элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении (см. рис. 2.4).

z₁

0

0

z₂

1

1

2

2

Рис. 2.4

Известно, что представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, а величина – удельную кинетическую энергию. Исходя из этого уравнение Бернулли устанавливает постоянство суммы удельных кинетической и потенциальной энергий идеальной жидкости в установившемся движении и является частным случаем закона сохранения энергии.