1.2. Дифференциальные уравнения Эйлера и их интегралы. Основное уравнение гидростатики

Опыт показывает, что гидростатическое давление в разных точках объема разное, т.е. p = f(x, y, z). Установим эту функциональную связь. С этой целью выделим внутри покоящейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 1.4). Отбросим мысленно окружающую жидкость и заменим ее воздействие на параллелепипед силами. Спроектируем силы на ось Х. Так как параллелепипед находится в равновесии, то

Рx1 – Px2 + Gx = 0.

(1.7)

z

G

P_x1

P_x2

1

2

3

5

6

7

8

dz



dy

4

dx

x

y

Рис. 1.4

Предположим, что гидростатическое давление, действующее на грань 1234 равно p, а грань находится на расстоянии х от начала координат. Тогда

(1.8)

В связи с тем, что координата грани 5678 равна х + dx, а р = f(x, y, z), то давление, действующее на эту грань будет и

(1.9)

Проекцию массовых сил на ось Х представим следующим образом

(1.10)

Здесь Х – проекция ускорения массовых сил на ось х. Подставляем указанные силы в уравнение (1.7)

(1.11)

Раскроем скобки

(1.12)

После очевидных преобразований получим:

(1.13)

Произведя аналогичные преобразования для осей Y и Z, получим систему дифференциальных уравнений Эйлера

(1.14)

Каждое из этих уравнений представляет собой закон распределения давления вдоль соответствующей оси координат. Совокупность двух любых уравнений выражает закон распределения гидростатического давления в соответствующей плоскости, а трех – закон распределения гидростатического давления по объему жидкости.

Заменим систему уравнений (1.14) на одно уравнение. С этой целью умножим каждое уравнение соответственно на dx, dy, dz и произведем почленное сложение, тогда

(1.15)

В связи с тем, что гидростатическое давление является функцией координат, выражение в правой части уравнения (1.15) является полным дифференциалом давления dр и, следовательно

(1.16)

Уравнение (1.16) является основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

Рассмотрим случай, когда на жидкость действуют только силы тяжести. Тогда X=0, Y=0, Z= g и уравнение (1.16) примет вид

(1.17)

или

(1.18)

Проинтегрируем это уравнение и получим

(1.19)

где С – постоянная интегрирования;

z – геометрическая высота, м;

– пьезометрический напор, м.

Постоянную интегрирования найдем, подставив в (1.19) параметры свободной поверхности (рис. 1.5) z=z₀, p=p₀, откуда

(1.20)

Тогда:

(1.21)

или

(1.22)

Рис. 1.5

Обозначим (z₀-z)=h, тогда

(1.23)

Полученное таким образом уравнение называется основным уравнением гидростатики, которое позволяет рассчитывать давление в любой точке объема жидкости.

Равновесие жидкости в поле силы тяжести и силы инерции

(относительный покой жидкости)

Рассмотрим некоторые случаи, когда на жидкость кроме сил тяжести действуют другие силы инерции.

Пусть резервуар движется прямолинейно ускоренно с ускорением а (рис. 1.6).

z

Рис. 1.6

При горизонтальном перемещении резервуара жидкость в нем будет находиться под действием сил давления, силы тяжести и силы инерции переносного движения, направленной в сторону противоположную направлению движения. При указанном расположении осей координат дифференциальное уравнение равновесия будет иметь следующий вид

(1.24)

После интегрирования получим

(1.25)

Постоянная интегрирования С определяется следующим образом. Когда х=y=z=0; p=p_o и следовательно, С= p_o и (1.25) запишется в виде

(1.26)

Введем понятие «поверхность равного давления» или «поверхность уровня». По названию следует, что условием поверхности равного давления является dp=0. тогда уравнение (1.16) запишется в следующем виде

(1.27)

Это дифференциальное уравнение поверхности равного давления. Подставим в (1.27) значение ускорений, действующих на жидкость: Х= – а; Y=0; Z=g. Получим

(1.28)

После интегрирования будем иметь

(1.29)

Это уравнение плоскости, которая наклонена к горизонту под углом γ, определяемым следующим образом tg γ=

Равновесие жидкости в поле силы тяжести в сосуде, равномерно вращающемся вокруг своей вертикальной оси

Пусть сосуд наполнен жидкостью до некоторого первоначального уровня и вращается с угловой скоростью ω (рис. 1.7). При вращении на жидкость кроме силы тяжести действует центробежная сила и следовательно, Х = ω²х, Y = ω²y, Z = – g, и основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме примет вид

(1.30)

После интегрирования

(1.31)

Рисунок 1.7

Постоянную интегрирования найдем из условия, когда X=Y=Z=0, р=р₀ и С=р₀. Тогда

(1.32)

Найдем форму поверхности равного давления:

(1.33)

Проинтегрируем и получим

(1.34)

Полученное уравнение является уравнением параболоида вращения.