Функция распределения -Колмогорова.

При применении критерия согласия, рассчитанное значение используют следующим образом:

1. Задают уровень значимости критерия q

Находят соответствующее ему значение ( находят из специальных таблиц, где указаны уровни значимости или вероятности Р ( ) и соответствующее им )

2. Если вычисленное значение , то гипотеза отвергается, т.к. наблюдаемое рассогласование статистических данных и теоретического распределения слишком велико – значимо (и маловероятно).

3. Если , то гипотеза о законе распределения F(x) принимается, т.е. статистические данные не противоречат теоретическому распределению (отклонения незначимы).

Недостатки критерия – Колмогорова:

1. Критерия можно применить только для непрерывных С.В.

2. Параметры распределения F(x) должны быть известны из каких-либо теоретических соображений и не могут выбираться путём статистического оценивания. В противном случае критерий даёт заведомо заниженные значения , т.к. не учитывается уменьшение числа степеней свободы, и поэтому мы рискуем принять как правдоподобную гипотезу ту, которая в действительности плохо согласуется с опытными данными.

Пример: Результаты измерений 1000 деталей приведены в таблице в виде сгруппированной выборки:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	98.0	98.5	99.0	99.5	100.0	100.5	101.0	101.5	102.0	102.5
	21	47	87	158	181	201	142	97	41	25

Проверить, используя критерий согласия – Колмогорова, согласованность выборки с нормальным законом распределения (НЗР) с параметрами с уровнем значимости q = 0,1.

1. Статистическая функция распределения F*(x) может быть найдена как

2. Теоретическая функция распределения F(x) имеет вид:

Результаты вычислений F*(x) и F(x) приведены в таблице

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0.021	0.068	0.155	0.313	0.494	0.695	0.837	0.934	0.975
	0.0060	0.00228	0.0668	0.1587	0.3085	0.5000	0.6915	0.8413	0.9332	0.9772
	0.0060	0.0018	0.0012	0.0037	0.0045	0.0060	0.0035	0.0043	0.0008	0.0022

По таблице распределения для уровня значимости q = 0,1 соответствует .

Т.к. , то гипотеза принимается.

Критерий согласия χ2-Пирсона

Является одним из наиболее часто встречающихся критериев. Свободен от недостатков критерия λ-Колмогорова. Может применяться как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Не требует знания (априорного) закона распределения.

Пусть произведено n независимых экспериментов (наблюдений) с.в. Х. Результаты опытов оформляют в виде статистического ряда, имеющего К разрядов:

Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о том, что с.в. Х имеет данный закон распределения, заданный функцией F(x) или (x). Этот закон распределения назовём «теоретическим».

Зная теоретический закон распределения, найдём значения вероятности (теоретические) попадания с.в. в каждый из разрядов, т.е.:

В качестве меры расхождения теоретического и статистического распределений принимается сумма квадратов отклонений , взятых с некоторыми весами С_i, т.е.:

Пирсон показал, что при и при больших n, закон распределения с.в. U практически не зависит от функции распределения F(x) и от числа опытов n, а зависит только от числа разрядов K и при увеличении n приближается к так называемому «распределению χ²».

При этом мера расхождения имеет вид:

Где – число значений с.в. Х в каждом разряде.

Распределение зависит от параметра , называемого «числом степеней свободы» распределения. Оно определяется следующим образом:

Где: К – число разрядов статистического ряда, S – число дополнительных связей, налагаемых на вероятности P^*_k и P_k. при их вычислениях. Оно равно количеству оцениваемых по статистическим данным параметров «теоретического» закона распределения (например m_x = m_x^*; D_x = D_x^{* -}- две связи), плюс требование: , ( еще одна связь, налагаемая на значения P^*_k во всех случаях).

Распределение Пирсона приведено в таблицах.

При использовании критерия Пирсона необходимо иметь в виду, что близость распределения меры U к распределению зависит от того на сколько верно выбрано разбиение на разряды. Необходимо, чтобы число значений с.в. Х, попадающих в разряды статистического ряда, было не менее 5-7.