16. Определение точки максимума (минимума) функции. Необходимый признак экстремума (доказательство).
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Пусть функция
непрерывна
в 
и
существуют конечные или бесконечные
односторонние производные 
.
Тогда при условии
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке
Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии
и 
является точкой локального максимума. А если
и 
то является точкой локального минимума.
Пусть функция дифференцируема
раз
в точке
и 
,
а 
.
Если
чётно
и 
,
то
-
точка локального максимума. Если
чётно
и 
,
то
-
точка локального минимума. Если
нечётно,
то экстремума нет.
17. Первый достаточный признак экстремума (доказательство). Второй достаточный признак экстремума (формулировка).
10.5. Достаточный признак экстремума
использующий вторую производную. Наименьшее
и наибольшее значения функции на отрезке
Т:
(достаточный признак э. II) Пусть
а
суще-
ствует
и непрерывна в некоторой окрестности
т.
Если 
то
функция имеет max в т.
если
то
функция имеет min в т.
Пусть
В
силу непрерывности
сохраняет
знак всюду в окрестности т.
по
достаточному признаку монотонности
в
окрестности т.
но
при
при
(рис.
10.8). По достаточному признаку э. I в
т.
функция
имеет max.
Рис. 10.8
Аналогичные рассуждения для случая
Достаточный
признак э. II применим только для
случая
т.е.
для стационарных точек
Пример:
Применим
сведения об экстремумах для нахождения
наибольшего и наименьшего значений
функции
на
отрезке [a, b].
Пусть
и
дифференцируема на (а, b) за исключени-
ем, быть может, конечного числа точек. Она достигает своего наименьшего и наибольшего значений (свойство 1° непрерывных на [а, b] функций), которые могут находиться или в точках экстремума, или на концах отрезка.
Таким
образом, чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения
на
[а, b], необходимо:
1) найти точки на [а, b], подозрительные на экстремум;
2) найти значения функции в этих точках и на концах промежутка [а, b], выбрать из них наименьшее и наибольшее значения.
Пример:
1)
при
2)
18. Определение выпуклости вверх (вниз) графика функции на интервале. Достаточный признак выпуклости вверх (вниз). (доказательство).
Определение 1. График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.
|
|
|
|
Выпуклый график, Вогнутый график,
<0.
>0.
Теорема 1. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции на некотором интервале отрицательна (положительна), то график функции на данном интервале выпуклый (вогнутый).
Верна и обратная теорема.
Определение 2. Точки, в которой график функции меняет направление выпуклости, называют точками перегиба графика функции.
Y
y=f(x)
0 a c X
Точка a является точкой перегиба, а точка c нет, так как в этой точке функция не дифференцируема.
Теорема
2. (необходимый
признак точки перегиба). Если
точка х0 является
точкой перегиба графика дважды
дифференцируемой функции, то в этой
точке вторая производная равна нулю: 
=0.
Определение 3. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второй производной. Если функция имеет точки перегиба, то они могут быть только в критических точках.
Теорема 3 (достаточный признак точки перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.