11. Производные суммы, произведения и частного функций. Производная сложной функции.

12. Теорема о непрерывности функции имеющую производную в точке (доказательство)

13. Определение дифференциала функции, его связь с приращением функции, форма, геометрический смысл, применение к приближенным вычислениям.

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства:   где α – бесконечно малая в окрестности   функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀ + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить: 

Линейную функцию   называют дифференциалом функции f в точке   и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке   равна 1, то есть   Поэтому пишут: 

Приближенное значение функции вблизи точки   равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: 

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции.

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

14. Теорема Ферма, Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. (доказательство)

еорема Ферма.  Если функция у = f (х),  определенная в интервале (а ; b), достигает в  некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует  производная f ′(с), то f ′(с) = 0.  

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).    Теорема Ролля. Если функция у = f (х),  непрерывная на отрезке [а ; b] и  дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.  Геометрически эта теорема означает  следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).    Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и  дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что   

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х)  между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ.   

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.  

15. Определение функции монотонно возрастающей (убывающей) на интервале. Достаточный признак монотонного возрастания (убывания) функции на интервале. (доказательство)

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция   Тогда

• функция   называется возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется убыва́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го убыва́ющей на  , если

.

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.

• Монотонная функция,   определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.

• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.

• Монотонная функция   дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.