4.Беск большие функции при х-х0; х-беск определения, геометр иллюстрация. Связь между бесконечно большой и малой функциями.

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Теорема 1 (о связи предела с бесконечно малой функцией). Для того, чтобы существовал

 

lim x → x0  f(x) = A,

 

необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде

 

f(x) = A + α(x),

 

где α(x) — бесконечно малая функция при x → x₀.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

1. Если f(x) — бесконечно большая функция при x → x₀, то  

   1

   f(x)

2.    — бесконечно малая функция при x → x₀.

3. Если α(x) — бесконечно малая функция при x → x₀   и   x  

   ·

   O

4. (x₀)    α(x) ≠ 0,   то   

   1

   α(x)

5.    — бесконечно большая функция при x → x₀.

5. Теорема о разности между функцией и ее пределом. Теорема о пределе суммы, произведения и частного функций.

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций  ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций  ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля

6.Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые, их свойства.

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины   и   (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если  , то   — бесконечно малая высшего порядка малости, чем  . Обозначают  .

• Если  , то   — бесконечно малая низшего порядка малости, чем  . Соответственно  .

• Если   (предел конечен и не равен 0), то   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как   или   (в силу симметричности данного отношения).

• Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина   имеет  -й порядок малости относительно бесконечно малой  .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

[править]Примеры сравнения

• При   величина   имеет высший порядок малости относительно  , так как  . С другой стороны,   имеет низший порядок малости относительно  , так как  .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде  .

•  то есть при   функции   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи   и 

• При   бесконечно малая величина   имеет третий порядок малости относительно  , поскольку  , бесконечно малая   — второй порядок, бесконечно малая   — порядок 0,5.

Определение

Если  , то бесконечно малые величины   и   называются эквивалентными ( ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При   справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• 

• 

• 

• 

• , где  ;

• 

• , где  ;

• 

• 

• , поэтому используют выражение:

, где  .