Домашнее задание
Разобрать приведенный ниже материал
1.Сетевые задачи
Задача 1 (о замене). Транспортное агентство составляет 5-летний бюджетный план. В связи с этим возникает задача определения оптимальной стратегии замены автобусного парка. В табл. 1.1 приведены данные по стоимостям замен и годового обслуживания одного автобуса в зависимости от его возраста. Замены проводятся в конце очередного года. По окончании пятилетнего периода (в конце пятого года) все автобусы парка должны быть новыми. Требуется определить моменты замен старых автобусов на новые, при которых суммарная стоимость эксплуатации и затрат на замены за весь пятилетний период была бы минимальна.
|
Таблица 1.1
|
Решение. Представим всю пятилетнюю операцию, связанную с эксплуатацией и заменами автобуса в виде сети, представленной на рис. 1. Кружок под номером N означает начало очередного N-го года рассматриваемого пятилетнего периода. Стрелка, ведущая из K-го в L-й кружок, означает операцию, состоящую в начале эксплуатации нового автобуса в начале K-го года и замену его на новый в начале L-го года. Число над стрелкой означает общую стоимость (тыс. руб.) такой операции, состоящей из эксплуатации автобуса в течение L-K лет и последующей его замены в конце этого срока на новый. |
Рис.1. Сеть процесса по эксплуатациям и заменам автобуса
|
В соответствии с приведенной схемой решение задачи сводится к определению кратчайшего пути между узлами 1 и 6, если в качестве длин дуг сети на рис. 1. взять проставленные рядом с ними стоимости соответствующих операций. Шаблон с решением представлен на рис. 2.
Рис. 2. Шаблон с решением задачи о замене
Из рис 1 видно, что искомый кратчайший путь проходит через узлы 1-4-6. Его длина равна 246. Это означает, что оптимальными заменами стали бы две – одна в начале четвертого года периода (после трех лет эксплуатации автобуса), а другая – в самом конце всего периода. Суммарная стоимость замен и эксплуатации при этом варианте составила бы 246 тыс. руб. На самом деле, существует еще один вариант с такой же общей стоимостью – замена в начале третьего года (после двух лет эксплуатации) и в конце (от перемены мест слагаемых сумма не меняется).
Задача 2. Задана дорожная сеть:
Рис. 3. Дорожная сеть
Передвижение между узлами возможно лишь направлениях, указанных стрелками. Числа, стоящие у стрелок, означают пропускные способности дорог (тыс. авт./час). Сеть подлежит ремонту, за счет которого планируется увеличить ее пропускную способность. Это будет достигнуто в результате модернизации некоторых сегментов сети. Стоимости модернизации (у.е.) дорожных сегментов (участков) сети, приводящих к увеличению их пропускных способностей на 1 тыс. авт. в час известны и заданы в таблицах:
-
Дорожный участок
Стоимость модернизации
Дорожный участок
Стоимость модернизации
нач. узел
кон. узел
нач. узел
кон. узел
1
2
1
6
3
4
1
3
3
6
4
5
1
4
2
6
7
5
2
5
3
6
8
10
3
5
4
7
5
10
3
6
5
7
6
3
4
6
5
7
8
4
5
3
4
7
9
3
5
9
2
8
6
8
8
9
8
1) Каким образом инвестировать100 у.е. средств в реконструкцию дорог (т.е. сколько денег вложить в ремонт того или иного дорожного участка, чтобы максимально увеличить пропускную способность маршрута «1»-«9»?
2) Определить минимальную сумму вложений в реконструкцию дорог, необходимую для достижения пропускной способности сети по маршруту «1»-«9» в 20 тыс. автомобилей в час.
Ответ на 1-й вопрос задачи: необходимо инвестировать (у.е.):
9,33 в модернизацию участка (1,2); 21,00 в модернизацию участка (1,3); 31,00 в модернизацию участка (2,5); 38,67 в модернизацию участка (5,9). Пропускная способность дорожной сети при этом увеличится до 31 тыс. автомобилей в час.
Ответ на 2-й вопрос задачи: необходимо инвестировать (у.е.):
15,00 в модернизацию участка (1,3); 3,00 в модернизацию участка (2,5); 16,00 в модернизацию участка (5,9). Минимальный суммарный объем инвестиций в модернизацию дорог, необходимый для достижения пропускной способности сети в 20 тыс. автомобилей в час равен 34,00 у.е.