2. Принятие решений в условиях неопределенности (игры против природы)
Игрой против
природы называется модель конфликта
двух лиц, одно из которых не имеет цели,
но своими действиями существенно влияет
на качество принимаемых другим лицом
решений. Такое лицо называется «природой».
Другое лицо, имеющее цель и своими
действиями стремящееся достичь ее,
называется лицом, принимающим решения
(ЛПР). Конечную игру против природы в
нормальной форме задают с помощью
платежной матрицы (матрицы исходов)
,
элементы которой являются выигрышами
(проигрышами) ЛПР в ситуации
.
Здесь
–
одно из решений ЛПР, а
– одно из состояний природы. Если в игре
против природы элементы матрицы исходов
являются выигрышами ЛПР, то такую матрицу
называют матрицей выигрышей или
матрицей полезности. В случае, когда
представляют собой проигрыши ЛПР,
матрица исходов называется матрицей
проигрышей или матрицей потерь.
В зависимости от того, какая информация доступна ЛПР, а также от его субъективных характеристик (особенностей), при поиске оптимальных решений применяются различные критерии оптимальности.
2.1. Нерандомизированные решения
Критерий Лапласа.
Применяется при отсутствии какой-либо
информации о вероятностях свершения
состояний природы. Оптимальное решение
выбирается из условия максимума
(минимума) среднего выигрыша ЛПР на
множестве его обычных нерандомизированных
решений при равновероятных состояниях
природы, т.е., из условия
(2.1)
Критерий ожидаемого
значения (Байеса). Применяется при
известных вероятностях
свершения состояний природы
.
Оптимальное решение
выбирается из условия максимума среднего
выигрыша ЛПР при заданных вероятностях
свершения состояний природы, т.е., из
условия
(2.2)
Задача 2.1. Магазин закупает несколько (не более 10) контейнеров овощей для их последующей распродажи в течение недели более мелкими партиями – ящиками. Один контейнер содержит 100 ящиков с овощами. Общие издержки, связанные с приобретением, перевозкой и хранением одного контейнера равны 31297 руб. Всю неделю магазин продает овощи по цене 906 руб. за один ящик, а в конце недели распродает оставшиеся ящики по цене 328 руб. за один ящик.
Объем продаж в течение недели зависит от спроса, который является случайным со следующим распределением:
-
Количество ящиков
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Вероятность
0,098
0,101
0,103
0,105
0,105
0,104
0,102
0,099
0,095
0,088
Определить, используя критерий Байеса, сколько контейнеров следует приобрести магазину, чтобы получить максимум ожидаемой прибыли за недельный цикл.
Решение: 1)
используя исходные данные, вычисляем
элементы
матрицы исходов. Если спрос превышает
предложение, то по начальной цене
продаются все закупленные ящики с
овощами. В противном случае по начальной
цене продаются только те ящики, которые
пользуются спросом, а оставшиеся
сбываются по 328 руб. Себестоимость же
одного ящика равна 312,97 руб. Таким образом,
элемент
матрицы исходов определится следующей
формулой:
2) следуя (2.2), для каждого из решений находим значения ожидаемых прибылей и выбираем среди них наибольшую:
Рис. 2.1. Шаблон с решением задачи 2.1