31. Исследование хорошо структурированных систем: выбор числового критерия оптимизации, формулировка задачи оптимизации, информационное обеспечение.

Выбор числового критерия оптимизации

Ранее была сформулирована проблема, являющаяся предметом исследования и определен объект проектирования формализованной управляющей системы. Для оценки степени достижения цели, которая приводит к решению проблемы, как отмечалось ранее, вводится критерий (критерии), представляющий собой желаемый тип выхода для достижения цели и, называемый поэтому целевой функцией. В любой из моделей определения параметров состояния системы, приведенных выше, можно выделить критерий оптимизации, численное значение которого может служить оценкой степени достижения цели

Так, в процессе управления запасами цель состоит в минимизации расходов на создание и содержание запаса. Поскольку в качестве параметра состояния «у» выбраны издержки L то числовой критерий оптимизации состоит в минимизации функции в зависимости от единственной управляемой переменной q.

k V Sq

L = ---- + ------- (17)

q 2

В процессах управления, связанных с распределением ресурсов, в качестве параметров состояния принимается величина прибыли, убытка, выполнения работ, издержки материала, требуемые трудовые ресурсы и т.д , которые зависят от числовых значений распределяемых величин x_ij. В зависимости oт формулировки проблемы определяется цель и численный критерий ее достижения. Например, при заданных обьемах выпуска и мощностях можно поставить задачу максимизации прибыли за счет рационального использования взаимозаменяемого оборудования. Тогда в качестве числового критерия оптимизации будет служить модель для определения состояния по прибыли

5 3

Z₁ = у_З = Σ (С j – Σ Z_ij x_ij) , (18)

j =1 i=1

Или можно в качестве числового критерия оптимизации рассмотреть минимизацию общих затрат денежных ресурсов на изготовление изделий:

3 5

Z₂ = Σ Σ z_ij x_ij (19)

i= 1 j =l

Или минимизацию затрат времени на изготовление заданного объема продукции:

3 5

Z₃ = Σ Σ t_ij x_ij (20)

i= 1 j =l

Числовой критерий оптимизации в модели динамического программирования и "дерева решений" реализуется на каждом этапе в соответствии с поставленной целью управления. Он состоит в выборе оптимального значения управляемой переменной (одного из параметров состояния на каждом этапе), доставляющего max (nun) значения целевой функции (например, пути в сети), на каждом этапе.

Формулировка математической задачи оптимизации

Объединяя результаты предыдущих этапов построения математической модели, ее можно записать в виде математической задачи оптимизации. Если известна целевая функция Z(х), то для записи задачи оптимизации в общем виде используется символика:

Z (х) → min (max) = fg (21)

х € U,

где U - допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые переменные.

Для управления запасами математическая задача оптимизации запишется как:

k ν S q

L = ------ + --------- → min (22)

q 2

0 < q ≤ q_{max ,}

где q_max - есть предельно возможная, например, из-за грузоподъемности транспорта, денежных ресурсов или других причин партия поставки.

Для управления распределением на взаимозаменяемом оборудовании можно рассмотреть несколько вариантов.

1. Оптимизация прибыли:

5 3

Z₁ = y₃= Σ (С j – Σ Z_ij x_ij) → max (23)

j =1 i =1

при 0 < у₁₁ ≤ M₁

0 < у₁₂ ≤ M₂ ,

0 < у₁₃ ≤ М₃,

у₂₁ = П₁, у₂₂ = П₂, у₂₃ = П₃, у₂₄ = П₄ , у₂₅ = П₅

2. Минимизация денежных затрат

3 5

Z₂ = Σ Σ z_ij x_ij → min (24)

i=1 j=1

при тех же ограничениях, что в п. 1 .

3. Минимизация затрат времени:

3 5

Z₃ = Σ Σ t_ij x_ij →min (25)

i=i j=i

при ограничениях

у₂₁ = П₁ у₂₂ = П₂, у₂₃ = П₃, у₂₄ = П₄, y₂₅ = П₅,

5 3

Z = Σ (С j – Σ Z_ij x_ij) ≥ Z_min

j =l i =l

где Z_min - минимально допустимая величина прибыли.

Формулировка задачи оптимизации в моделях динамического программирования (с закрепленными концами) состоит в определении начального и конечного состояний, этапов перехода, количественных характеристик состояния каждого этапа и формулировке критерия принятия решения на каждом этапе в соответствии с критерием.

Пример реализации этапов построения управляющей системы для хорошо структурированной проблемы:

Проблема состоит в том, что в некоторых регионах из-за регулярной засухи происходит потеря урожая, что приводит к сбою в обеспечении продовольствия.

В качестве реальной возможности удовлетворения потребности рассмотрим создание оросительного канала для транспортировки воды на большом расстоянии.

Пусть боковые стенки канала составлены из бетонных плит одинаковой ширины, а его поперечное сечение представляет трапецию. В соответствии со схемой анализа синтеза после исходной постановки проблемы мы должны определить является ли она хорошо либо слабо структурировано, классификацию проблемы.

Поскольку строительство подобного канала является не первой в истории и эта область хорошо освоена практически то эта проблема является хорошо структурированной.

Выбор границ объекта управления: Будем считать что выбор пути по которому следует проложить канал диктуется внешними условиями (начало и конец транспортировки, рельеф местности, населенные пункты, транспортные магистрали и другие моменты) выбор пути определен и не имеет других границ. Это предположение существенно сужает границы объекта управления, оно позволяет построить модель управляющей системы на основе математической модели оптимизации.

В качестве целей системы управления могут быть показатели качества строительства канала, такие как: затраты на строительства, пропускная способность канала, потеря воды, транспортировки. В общем случае выбирая на основе предыдущего опыта предворительных оценок экспериментального исследования наиболее существенных факторов определяющих качество, следует ограничить их число. Это и соответствует определению границ объекта управления.

В нашем случае рассмотрим следующее варианты ограничения определяющих качество строительства канала:

А) главной целью является наиболее пропускная способность канала, при этом используется плиты шириной L₀

Б) главной целью является минимальная стоимость канала

В) во внимание следует принимать одновременно и пропускную способность канала и стоимость строительства и потери воды из-за просачивание через стенки и дно канала а также испарения

В общем случае на выбор значения управляемой переменой наложено ограничение связанные с ограниченностью имеющихся ресурсов. При построении математических моделей эти ограничения записываются виде равенств или не равенств или указываются множества которые должны принадлежать значения управляемых переменных. Совокупность всех ограничений на управляемые переменные определяют так называемы «допустимые» множества задачи оптимизации

Y-фи

0<Y<=П/2

0<L<=Lmax

Б) в случае б возникает еще одно ограничение что задано минимальная допустимая пропускная способность . Выразит пропускную способность канала:

(Wmin –минимально допустимая пропускная способность)

V- скорость течения

S=L²(1+cosY)sinY

W= V*L²(1+cosY)sinY>=Wmin

Выбор числвого критерия:

Обязательной составной частью математической модели предназначенной для управления является числовой критерий оптимизации, минимальному или максимальному значению которого соответствует наилучший вариант поведения управляемого объекта. Величина этого критерия определяется полностью выбранными значениями управляемых переменных, тк он является функциями этих переменных, критерии еще называют целевой функцией(f)

а) f1(Y)=VL₀²(1+cosY)sinYmax

б) f2(Y,l)= C2*3l*L+ С1*l*L₀²(1+cosY)sinYmin

С=С1+С2

С1-стоимость земляных работ

С2-стоимость плит, перевозка, укладка

С₁= С1*l*L₀²(1+cosY)sinY

С_1- затраты на извлечения 1 м³ грунта

С₂=C2*3l*L

C₂ –затраты отнесенный к 1 м²

В) в данном случае необходимо учесть сразу несколько к тому же противоречивых целей оптимизации: максим3r_2lL-l+ум пропускной способности, минимум стоимости строительства и потери воды.

Целевая функция

F(l,y)=-(альфа)₁f₁(l,Y)+-f₂9l,Y)+ )=-(альфа)₃f₃(l,Y)

F₃=(l,y)=r₁l(1+cosY) 3r₂lL

Формулировка математической задачи оптимизации, объединяя целевую функцию и ограничения на управляемые переменные получаем формулировку математической задачи оптимизации. В общем виде звучит так: найти значения переменных доставляющих максимум(минимум) целевой функции при накладываемых на них ограничениях.

А) f1(Y)=VL₀²(1+cosY)sinYmax

0<Y<=П/2

Б)f(l₁Y)=[l₁L²(1+cosY)sinY+

VL²(1+cosY)sinY>=Wmin

0<Y<= П/2

0<l<lmax

В) F(l,y)=-(альфа)₁f₁(l,Y)+-f₂9l,Y)+ )=-(альфа)₃f₃(l,Y)

В этом случае математическая модель должна учитывать три разные цели при этом одну надо максимизировать а одну минимизировать. В этом случае к максимуму произвольного числового показателя соответствует минимум противоположной величины и наоборот, поэтому вместо функции f₁(l,Y) можно использовать - f₁(l,Y).