Практическая часть

С помощью программы MatLab, напишем функцию (ее текст в приложении), выдающую нам в результате таблицы значений соответствующих составляющих амплитуд в зависимости от отношения r/λ, изменяющегося (в соответствии с заданием) от 0.5 до 10 c шагом 0.5, и угла θ, изменяющегося от 0^o до 180^o с шагом в 20^o. Полученные таблицы (столбцы – θ, строки - r/λ) так же в приложении.

С помощью того же Matlab’а были построены графики зависимостей составляющих амплитуд от отношения длины радиус-вектора к длине волны. Значение угла θ взято θ=50^о. Вот, что получилось³:

Оценка погрешности E_m

Если сравнить формулу для промежуточной зоны, которая точна для любых r, и формулу для дальней зоны, то легко заметить, что из первой мы убираем радиальное слагаемое, а из меридионального «выкинуты» слагаемые, в которых отношение (r/λ) фигурирует в степени 2 и 3 соответственно. Можно сделать оценку, что если в сумме «выкинутые» слагаемые будут составлять менее 1% от оставшейся части, то это и будет минимальный радиус, в котором действует формулы для дальних зон с заданной точностью.

С помощью найденной таблицы зависимости относительной амплитуды радиальной составляющей вектора напряженности электрического поля (см. приложение), заметим, что при r/λ>5 эта составляющая уже меньше одного процента от себя самой, а при r/λ>7 меньше полпроцента.

Вместе с этим, важнее учитывать «выкинутые» слагаемые из меридиональной составляющей. При сумме отношений r/λ во 2ой и 3ей степени, погрешность 1% будет приблизительно достигаться при r>10 λ.

Первое условие не такое жесткое и, при соблюдении второго, выполняется с достаточной точностью.

Поэтому общий ответ на этот вопрос: r>10 λ

Диаграммы направленности

Диаграмма направленности – это характеристика излучателя, показывающая зависимость амплитуды поля в дальней зоне от направления в пространстве (от углов и ). Существуют различные диаграммы направленности, они классифицируются в зависимости от плоскости, в которой проводится «срез» пространственной картины зависимости. Таким образом, кроме трехмерной диаграммы выделяют еще две ее проекции:

1) ДН в меридиональной плоскости

2) ДН в экваториальной плоскости

Для удобства диаграмму направленности нормируют – все значения E_m(α, θ) делят на максимальное значение E_{m max}. Очевидно, что выполняется неравенство:

0≤ r = ≤ 1

Положим сначала, что наш ЭЭИ направлен по оси z:

1)

Единичный вектор оси z можно расписать как:

После нормировки, в силу того, что ДН не зависит от вектора r, получим

=

Представим для начала пространственную диаграмму направленности. Она б удет выражаться формулой:

r = = sin θ ,

0 ≤ θ ≤ 180^o

0 ≤ α ≤ 360^o

График будет выглядеть следующим образом 

Рассмотрим теперь меридиональную плоскость.

Меридиональная плоскость – это плоскость, проходящая через ось z. Уравнение этой плоскости в сферических координатах записывается в виде:

, ,где

Диаграмма направленности в меридиональной плоскости представляет кривую, задаваемую уравнением:

где r – длина радиус-вектора, проведённого в меридиональной плоскости из начала координат под углом к оси z;

- амплитуда напряжённости электрического поля в дальней зоне;

-максимальное значение амплитуды.

Диаграмма направленности ЭЭИ в меридиональной плоскости представляет собой две окружности, касающиеся оси z в начале координат.

Экваториальная плоскость – это плоскость, проходящая через начало координат перпендикулярно оси z. Уравнение этой плоскости в сферических координатах записывается в виде: .

Диаграмма направленности ЭЭИ в экваториальной плоскости представляет собой кривую, задаваемую уравнением:

,

где - длина радиуса-вектора, проведённого в эквивалентной плоскости из начала координат под углом к плоскости x.

Так как амплитуда волны не зависит от угла , то диаграмма направленности представляет собой окружность с центром.

Это, однако, это самый простой вид зависимости. Рассмотрим теперь два других случая, когда ЭЭИ направлен по оси x и по оси y.

Вспомним, как раскладываются вектора x и y в сферических координатах⁴:

При этом в дальней зоне мы используем принцип излучения на бесконечности, в котором справедливы выражения⁵:

, где W =

Получаем, что

1)E = -ikWIl(θ⁰cosθcosα – α⁰sinα)G(r), если ЭЭИ напр. по x, и

2)E = -ikWIl(θ⁰cosθsinα + α⁰cosα)G(r) , если ЭЭИ напр. по y.

После нормировки

E_mx = =

E_my = =

Теперь возьмем случай, когда ЭЭИ направлен по оси y:

2)

И, наконец, третий случай, когда ЭЭИ направлен по оси x:

3)