3 Алгоритм выбранного метода решения задачи в виде блок-схемы
Рисунок 1– Блок-схема алгоритма решения метода отсечения
4 Решение задачи вручную
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.
5x1 + 8x2 + 3x3 + 2x4 + 7x5 + 1x6 + 0x7 = 112
1x1 + 8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x5 + 0x6 + 1x7 = 109
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
1 |
0 |
1 |
8 |
6 |
5 |
4 |
0 |
1 |
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x6, x7,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,0,112,109)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x6 |
112 |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
1 |
0 |
x7 |
109 |
1 |
8 |
6 |
5 |
4 |
0 |
1 |
F(X0) |
0 |
-4 |
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
0 |
0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (112 : 8 , 109 : 8 ) = 135/8
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (8) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x6 |
112 |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
1 |
0 |
14 |
x7 |
109 |
1 |
8 |
6 |
5 |
4 |
0 |
1 |
135/8 |
F(X1) |
0 |
-4 |
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x7 в план 1 войдет переменная x2 .
Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=8
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.
В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2 .
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (8), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
112-(109 • 8):8 |
5-(1 • 8):8 |
8-(8 • 8):8 |
3-(6 • 8):8 |
2-(5 • 8):8 |
7-(4 • 8):8 |
1-(0 • 8):8 |
0-(1 • 8):8 |
109 : 8 |
1 : 8 |
8 : 8 |
6 : 8 |
5 : 8 |
4 : 8 |
0 : 8 |
1 : 8 |
0-(109 • -7):8 |
-4-(1 • -7):8 |
-7-(8 • -7):8 |
-6-(6 • -7):8 |
-5-(5 • -7):8 |
-4-(4 • -7):8 |
0-(0 • -7):8 |
0-(1 • -7):8 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x6 |
3 |
4 |
0 |
-3 |
-3 |
3 |
1 |
-1 |
x2 |
135/8 |
1/8 |
1 |
3/4 |
5/8 |
1/2 |
0 |
1/8 |
F(X1) |
953/8 |
-31/8 |
0 |
-3/4 |
-5/8 |
-1/2 |
0 |
7/8 |
Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (3 : 4 , 135/8 : 1/8 ) = 3/4
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x6 |
3 |
4 |
0 |
-3 |
-3 |
3 |
1 |
-1 |
3/4 |
x2 |
135/8 |
1/8 |
1 |
3/4 |
5/8 |
1/2 |
0 |
1/8 |
109 |
F(X2) |
953/8 |
-31/8 |
0 |
-3/4 |
-5/8 |
-1/2 |
0 |
7/8 |
0 |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x6 в план 2 войдет переменная x1 .
Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=4
На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.
В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1 .
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
3 : 4 |
4 : 4 |
0 : 4 |
-3 : 4 |
-3 : 4 |
3 : 4 |
1 : 4 |
-1 : 4 |
135/8-(3 • 1/8):4 |
1/8-(4 • 1/8):4 |
1-(0 • 1/8):4 |
3/4-(-3 • 1/8):4 |
5/8-(-3 • 1/8):4 |
1/2-(3 • 1/8):4 |
0-(1 • 1/8):4 |
1/8-(-1 • 1/8):4 |
953/8-(3 • -31/8):4 |
-31/8-(4 • -31/8):4 |
0-(0 • -31/8):4 |
-3/4-(-3 • -31/8):4 |
-5/8-(-3 • -31/8):4 |
-1/2-(3 • -31/8):4 |
0-(1 • -31/8):4 |
7/8-(-1 • -31/8):4 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
3/4 |
1 |
0 |
-3/4 |
-3/4 |
3/4 |
1/4 |
-1/4 |
x2 |
1334/64 |
0 |
1 |
27/32 |
46/64 |
13/32 |
-1/32 |
10/64 |
F(X2) |
9746/64 |
0 |
0 |
-33/32 |
-262/64 |
127/32 |
25/32 |
6/64 |
Итерация №2.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (- , 1334/64 : 27/32 ) = 161/27
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (27/32) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x1 |
3/4 |
1 |
0 |
-3/4 |
-3/4 |
3/4 |
1/4 |
-1/4 |
- |
x2 |
1334/64 |
0 |
1 |
27/32 |
46/64 |
13/32 |
-1/32 |
10/64 |
161/27 |
F(X3) |
9746/64 |
0 |
0 |
-33/32 |
-262/64 |
127/32 |
25/32 |
6/64 |
0 |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x2 в план 3 войдет переменная x3 .
Строка, соответствующая переменной x3 в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x2 плана 2 на разрешающий элемент РЭ=27/32
На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.
В остальных клетках столбца x3 плана 3 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x3 и столбец x3 .
Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
3/4-(1334/64 • -3/4):27/32 |
1-(0 • -3/4):27/32 |
0-(1 • -3/4):27/32 |
-3/4-(27/32 • -3/4):27/32 |
-3/4-(46/64 • -3/4):27/32 |
3/4-(13/32 • -3/4):27/32 |
1/4-(-1/32 • -3/4):27/32 |
-1/4-(10/64 • -3/4):27/32 |
1334/64 : 27/32 |
0 : 27/32 |
1 : 27/32 |
27/32 : 27/32 |
46/64 : 27/32 |
13/32 : 27/32 |
-1/32 : 27/32 |
10/64 : 27/32 |
9746/64-(1334/64 • -33/32):27/32 |
0-(0 • -33/32):27/32 |
0-(1 • -33/32):27/32 |
-33/32-(27/32 • -33/32):27/32 |
-262/64-(46/64 • -33/32):27/32 |
127/32-(13/32 • -33/32):27/32 |
25/32-(-1/32 • -33/32):27/32 |
6/64-(10/64 • -33/32):27/32 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
1228/36 |
1 |
8/9 |
0 |
-1/9 |
11/9 |
8/36 |
-1/9 |
x3 |
161/27 |
0 |
15/27 |
1 |
23/27 |
208/432 |
-1/27 |
5/27 |
F(X3) |
1471/3 |
0 |
32/3 |
0 |
-1/3 |
31/3 |
2/3 |
2/3 |
Итерация №3.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4
и из них выберем наименьшее:
min (- , 161/27 : 23/27 ) = 1819/23
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (23/27) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x1 |
1228/36 |
1 |
8/9 |
0 |
-1/9 |
11/9 |
8/36 |
-1/9 |
- |
x3 |
161/27 |
0 |
15/27 |
1 |
23/27 |
208/432 |
-1/27 |
5/27 |
1819/23 |
F(X4) |
1471/3 |
0 |
32/3 |
0 |
-1/3 |
31/3 |
2/3 |
2/3 |
0 |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x3 в план 4 войдет переменная x4 .
Строка, соответствующая переменной x4 в плане 4, получена в результате деления всех элементов строки x3 плана 3 на разрешающий элемент РЭ=23/27
На месте разрешающего элемента в плане 4 получаем 1.
В остальных клетках столбца x4 плана 4 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 4 заполнены строка x4 и столбец x4 .
Все остальные элементы нового плана 4, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
1228/36-(161/27 • -1/9):23/27 |
1-(0 • -1/9):23/27 |
8/9-(15/27 • -1/9):23/27 |
0-(1 • -1/9):23/27 |
-1/9-(23/27 • -1/9):23/27 |
11/9-(208/432 • -1/9):23/27 |
8/36-(-1/27 • -1/9):23/27 |
-1/9-(5/27 • -1/9):23/27 |
161/27 : 23/27 |
0 : 23/27 |
15/27 : 23/27 |
1 : 23/27 |
23/27 : 23/27 |
208/432 : 23/27 |
-1/27 : 23/27 |
5/27 : 23/27 |
1471/3-(161/27 • -1/3):23/27 |
0-(0 • -1/3):23/27 |
32/3-(15/27 • -1/3):23/27 |
0-(1 • -1/3):23/27 |
-1/3-(23/27 • -1/3):23/27 |
31/3-(208/432 • -1/3):23/27 |
2/3-(-1/27 • -1/3):23/27 |
2/3-(5/27 • -1/3):23/27 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
1420/23 |
1 |
11/23 |
3/23 |
0 |
14/23 |
5/23 |
-2/23 |
x4 |
1819/23 |
0 |
19/23 |
14/23 |
1 |
13/23 |
-1/23 |
5/23 |
F(X4) |
15314/23 |
0 |
43/23 |
9/23 |
0 |
312/23 |
15/23 |
17/23 |
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
1420/23 |
1 |
11/23 |
3/23 |
0 |
14/23 |
5/23 |
-2/23 |
x4 |
1819/23 |
0 |
19/23 |
14/23 |
1 |
13/23 |
-1/23 |
5/23 |
F(X5) |
15314/23 |
0 |
43/23 |
9/23 |
0 |
312/23 |
15/23 |
17/23 |
Оптимальный план можно записать так:
x1 = 1420/23
x4 = 1819/23
F(X) = 4•1420/23 + 5•1819/23 = 15314/23
Анализ оптимальной симплекс-таблицы.
Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - выгодно.
Значение 43/23> 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - не выгодно.
Значение 9/23> 0 в столбце x3 означает, что использование x3 - не выгодно.
Значение 0 в столбце x4 означает, что использование x4 - выгодно.
Значение 312/23> 0 в столбце x5 означает, что использование x5 - не выгодно.
Значение 15/23 в столбце x6 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 15/23.
Значение 17/23 в столбце x7 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 17/23.
Метод Гомори.
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 1-у уравнению с переменной x1, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 20/23, составляем дополнительное ограничение:
q1 - q11•x1 - q12•x2 - q13•x3 - q14•x4 - q15•x5 - q16•x6 - q17•x7≤0
q1 = b1 - [b1] = 1420/23 - 14 = 20/23
q11 = a11 - [a11] = 1 - 1 = 0
q12 = a12 - [a12] = 11/23 - 1 = 1/23
q13 = a13 - [a13] = 3/23 - 0 = 3/23
q14 = a14 - [a14] = 0 - 0 = 0
q15 = a15 - [a15] = 14/23 - 1 = 4/23
q16 = a16 - [a16] = 5/23 - 0 = 5/23
q17 = a17 - [a17] = -2/23 + 1 = 21/23
Дополнительное ограничение имеет вид:
20/23-1/23x2-3/23x3-4/23x5-5/23x6-21/23x7≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
20/23-1/23x2-3/23x3-4/23x5-5/23x6-21/23x7 + x8 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Поскольку двойственный симплекс-метод используется для поиска минимума целевой функции, делаем преобразование F(x) = -F(X).
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x1 |
1420/23 |
1 |
11/23 |
3/23 |
0 |
14/23 |
5/23 |
-2/23 |
0 |
x4 |
1819/23 |
0 |
19/23 |
14/23 |
1 |
13/23 |
-1/23 |
5/23 |
0 |
x8 |
-20/23 |
0 |
-1/23 |
-3/23 |
0 |
-4/23 |
-5/23 |
-21/23 |
1 |
F(X0) |
-15314/23 |
0 |
-43/23 |
-9/23 |
0 |
-312/23 |
-15/23 |
-17/23 |
0 |
1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 3-ая строка, а переменную x8 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 7-му столбцу, т.е. переменную x7 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-21/23).
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x1 |
1420/23 |
1 |
11/23 |
3/23 |
0 |
14/23 |
5/23 |
-2/23 |
0 |
x4 |
1819/23 |
0 |
19/23 |
14/23 |
1 |
13/23 |
-1/23 |
5/23 |
0 |
x8 |
-20/23 |
0 |
-1/23 |
-3/23 |
0 |
-4/23 |
-5/23 |
-21/23 |
1 |
F(X0) |
-15314/23 |
0 |
-43/23 |
-9/23 |
0 |
-312/23 |
-15/23 |
-17/23 |
0 |
θ |
0 |
- |
-43/23 : (-1/23) = 95 |
-9/23 : (-3/23) = 3 |
- |
-312/23 : (-4/23) = 201/4 |
-15/23 : (-5/23) = 3 |
-17/23 : (-21/23) = 17/21 |
- |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x1 |
1420/21 |
1 |
11/21 |
1/7 |
0 |
14/21 |
5/21 |
0 |
-2/21 |
x4 |
1813/21 |
0 |
18/21 |
11/7 |
1 |
11/21 |
-2/21 |
0 |
5/21 |
x7 |
20/21 |
0 |
1/21 |
1/7 |
0 |
4/21 |
5/21 |
1 |
-12/21 |
F(X0) |
-15219/21 |
0 |
-42/21 |
-2/7 |
0 |
-38/21 |
-10/21 |
0 |
-17/21 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
x 8 |
1420/23-(-20/23 • -2/23):-21/23 |
1-(0 • -2/23):-21/23 |
11/23-(-1/23 • -2/23):-21/23 |
3/23-(-3/23 • -2/23):-21/23 |
0-(0 • -2/23):-21/23 |
14/23-(-4/23 • -2/23):-21/23 |
5/23-(-5/23 • -2/23):-21/23 |
-2/23-(-21/23 • -2/23):-21/23 |
0-(1 • -2/23):-21/23 |
1819/23-(-20/23 • 5/23):-21/23 |
0-(0 • 5/23):-21/23 |
19/23-(-1/23 • 5/23):-21/23 |
14/23-(-3/23 • 5/23):-21/23 |
1-(0 • 5/23):-21/23 |
13/23-(-4/23 • 5/23):-21/23 |
-1/23-(-5/23 • 5/23):-21/23 |
5/23-(-21/23 • 5/23):-21/23 |
0-(1 • 5/23):-21/23 |
-20/23 : -21/23 |
0 : -21/23 |
-1/23 : -21/23 |
-3/23 : -21/23 |
0 : -21/23 |
-4/23 : -21/23 |
-5/23 : -21/23 |
-21/23 : -21/23 |
1 : -21/23 |
-15314/23-(-20/23 • -17/23):-21/23 |
0-(0 • -17/23):-21/23 |
-43/23-(-1/23 • -17/23):-21/23 |
-9/23-(-3/23 • -17/23):-21/23 |
0-(0 • -17/23):-21/23 |
-312/23-(-4/23 • -17/23):-21/23 |
-15/23-(-5/23 • -17/23):-21/23 |
-17/23-(-21/23 • -17/23):-21/23 |
0-(1 • -17/23):-21/23 |
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 1-у уравнению с переменной x1, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 20/21, составляем дополнительное ограничение:
q1 - q11•x1 - q12•x2 - q13•x3 - q14•x4 - q15•x5 - q16•x6 - q17•x7 - q18•x8≤0
q1 = b1 - [b1] = 1420/21 - 14 = 20/21
q11 = a11 - [a11] = 1 - 1 = 0
q12 = a12 - [a12] = 11/21 - 1 = 1/21
q13 = a13 - [a13] = 1/7 - 0 = 1/7
q14 = a14 - [a14] = 0 - 0 = 0
q15 = a15 - [a15] = 14/21 - 1 = 4/21
q16 = a16 - [a16] = 5/21 - 0 = 5/21
q17 = a17 - [a17] = 0 - 0 = 0
q18 = a18 - [a18] = -2/21 + 1 = 19/21
Дополнительное ограничение имеет вид:
20/21-1/21x2-1/7x3-4/21x5-5/21x6-19/21x8≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
20/21-1/21x2-1/7x3-4/21x5-5/21x6-19/21x8 + x9 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x1 |
1420/21 |
1 |
11/21 |
1/7 |
0 |
14/21 |
5/21 |
0 |
-2/21 |
0 |
x4 |
1813/21 |
0 |
18/21 |
11/7 |
1 |
11/21 |
-2/21 |
0 |
5/21 |
0 |
x7 |
20/21 |
0 |
1/21 |
1/7 |
0 |
4/21 |
5/21 |
1 |
-12/21 |
0 |
x9 |
-20/21 |
0 |
-1/21 |
-1/7 |
0 |
-4/21 |
-5/21 |
0 |
-19/21 |
1 |
F(X0) |
-15219/21 |
0 |
-42/21 |
-2/7 |
0 |
-38/21 |
-10/21 |
0 |
-17/21 |
0 |
1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 4-ая строка, а переменную x9 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 8-му столбцу, т.е. переменную x8 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-19/21).
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x1 |
1420/21 |
1 |
11/21 |
1/7 |
0 |
14/21 |
5/21 |
0 |
-2/21 |
0 |
x4 |
1813/21 |
0 |
18/21 |
11/7 |
1 |
11/21 |
-2/21 |
0 |
5/21 |
0 |
x7 |
20/21 |
0 |
1/21 |
1/7 |
0 |
4/21 |
5/21 |
1 |
-12/21 |
0 |
x9 |
-20/21 |
0 |
-1/21 |
-1/7 |
0 |
-4/21 |
-5/21 |
0 |
-19/21 |
1 |
F(X0) |
-15219/21 |
0 |
-42/21 |
-2/7 |
0 |
-38/21 |
-10/21 |
0 |
-17/21 |
0 |
θ |
0 |
- |
-42/21 : (-1/21) = 86 |
-2/7 : (-1/7) = 2 |
- |
-38/21 : (-4/21) = 173/4 |
-10/21 : (-5/21) = 2 |
- |
-17/21 : (-19/21) = 17/19 |
- |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x1 |
151/19 |
1 |
11/19 |
3/19 |
0 |
14/19 |
5/19 |
0 |
0 |
-2/19 |
x4 |
187/19 |
0 |
17/19 |
12/19 |
1 |
9/19 |
-3/19 |
0 |
0 |
5/19 |
x7 |
22/19 |
0 |
2/19 |
6/19 |
0 |
8/19 |
10/19 |
1 |
0 |
-14/19 |
x8 |
11/19 |
0 |
1/19 |
3/19 |
0 |
4/19 |
5/19 |
0 |
1 |
-12/19 |
F(X0) |
-1521/19 |
0 |
-41/19 |
-3/19 |
0 |
-34/19 |
-5/19 |
0 |
0 |
-17/19 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
x 8 |
x 9 |
1420/21-(-20/21 • -2/21):-19/21 |
1-(0 • -2/21):-19/21 |
11/21-(-1/21 • -2/21):-19/21 |
1/7-(-1/7 • -2/21):-19/21 |
0-(0 • -2/21):-19/21 |
14/21-(-4/21 • -2/21):-19/21 |
5/21-(-5/21 • -2/21):-19/21 |
0-(0 • -2/21):-19/21 |
-2/21-(-19/21 • -2/21):-19/21 |
0-(1 • -2/21):-19/21 |
1813/21-(-20/21 • 5/21):-19/21 |
0-(0 • 5/21):-19/21 |
18/21-(-1/21 • 5/21):-19/21 |
11/7-(-1/7 • 5/21):-19/21 |
1-(0 • 5/21):-19/21 |
11/21-(-4/21 • 5/21):-19/21 |
-2/21-(-5/21 • 5/21):-19/21 |
0-(0 • 5/21):-19/21 |
5/21-(-19/21 • 5/21):-19/21 |
0-(1 • 5/21):-19/21 |
20/21-(-20/21 • -12/21):-19/21 |
0-(0 • -12/21):-19/21 |
1/21-(-1/21 • -12/21):-19/21 |
1/7-(-1/7 • -12/21):-19/21 |
0-(0 • -12/21):-19/21 |
4/21-(-4/21 • -12/21):-19/21 |
5/21-(-5/21 • -12/21):-19/21 |
1-(0 • -12/21):-19/21 |
-12/21-(-19/21 • -12/21):-19/21 |
0-(1 • -12/21):-19/21 |
-20/21 : -19/21 |
0 : -19/21 |
-1/21 : -19/21 |
-1/7 : -19/21 |
0 : -19/21 |
-4/21 : -19/21 |
-5/21 : -19/21 |
0 : -19/21 |
-19/21 : -19/21 |
1 : -19/21 |
-15219/21-(-20/21 • -17/21):-19/21 |
0-(0 • -17/21):-19/21 |
-42/21-(-1/21 • -17/21):-19/21 |
-2/7-(-1/7 • -17/21):-19/21 |
0-(0 • -17/21):-19/21 |
-38/21-(-4/21 • -17/21):-19/21 |
-10/21-(-5/21 • -17/21):-19/21 |
0-(0 • -17/21):-19/21 |
-17/21-(-19/21 • -17/21):-19/21 |
0-(1 • -17/21):-19/21 |
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 2-у уравнению с переменной x4, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 7/19, составляем дополнительное ограничение:
q2 - q21•x1 - q22•x2 - q23•x3 - q24•x4 - q25•x5 - q26•x6 - q27•x7 - q28•x8 - q29•x9≤0
q2 = b2 - [b2] = 187/19 - 18 = 7/19
q21 = a21 - [a21] = 0 - 0 = 0
q22 = a22 - [a22] = 17/19 - 1 = 7/19
q23 = a23 - [a23] = 12/19 - 1 = 2/19
q24 = a24 - [a24] = 1 - 1 = 0
q25 = a25 - [a25] = 9/19 - 0 = 9/19
q26 = a26 - [a26] = -3/19 + 1 = 16/19
q27 = a27 - [a27] = 0 - 0 = 0
q28 = a28 - [a28] = 0 - 0 = 0
q29 = a29 - [a29] = 5/19 - 0 = 5/19
Дополнительное ограничение имеет вид:
7/19-7/19x2-2/19x3-9/19x5-16/19x6-5/19x9≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
7/19-7/19x2-2/19x3-9/19x5-16/19x6-5/19x9 + x10 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x1 |
151/19 |
1 |
11/19 |
3/19 |
0 |
14/19 |
5/19 |
0 |
0 |
-2/19 |
0 |
x4 |
187/19 |
0 |
17/19 |
12/19 |
1 |
9/19 |
-3/19 |
0 |
0 |
5/19 |
0 |
x7 |
22/19 |
0 |
2/19 |
6/19 |
0 |
8/19 |
10/19 |
1 |
0 |
-14/19 |
0 |
x8 |
11/19 |
0 |
1/19 |
3/19 |
0 |
4/19 |
5/19 |
0 |
1 |
-12/19 |
0 |
x10 |
-7/19 |
0 |
-7/19 |
-2/19 |
0 |
-9/19 |
-16/19 |
0 |
0 |
-5/19 |
1 |
F(X0) |
-1521/19 |
0 |
-41/19 |
-3/19 |
0 |
-34/19 |
-5/19 |
0 |
0 |
-17/19 |
0 |
1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 5-ая строка, а переменную x10 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 6-му столбцу, т.е. переменную x6 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-16/19).
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x1 |
151/19 |
1 |
11/19 |
3/19 |
0 |
14/19 |
5/19 |
0 |
0 |
-2/19 |
0 |
x4 |
187/19 |
0 |
17/19 |
12/19 |
1 |
9/19 |
-3/19 |
0 |
0 |
5/19 |
0 |
x7 |
22/19 |
0 |
2/19 |
6/19 |
0 |
8/19 |
10/19 |
1 |
0 |
-14/19 |
0 |
x8 |
11/19 |
0 |
1/19 |
3/19 |
0 |
4/19 |
5/19 |
0 |
1 |
-12/19 |
0 |
x10 |
-7/19 |
0 |
-7/19 |
-2/19 |
0 |
-9/19 |
-16/19 |
0 |
0 |
-5/19 |
1 |
F(X0) |
-1521/19 |
0 |
-41/19 |
-3/19 |
0 |
-34/19 |
-5/19 |
0 |
0 |
-17/19 |
0 |
θ |
0 |
- |
-41/19 : (-7/19) = 11 |
-3/19 : (-2/19) = 11/2 |
- |
-34/19 : (-9/19) = 67/9 |
-5/19 : (-16/19) = 5/16 |
- |
- |
-17/19 : (-5/19) = 32/5 |
- |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x1 |
1415/16 |
1 |
15/16 |
1/8 |
0 |
11/16 |
0 |
0 |
0 |
-3/16 |
5/16 |
x4 |
187/16 |
0 |
17/16 |
11/8 |
1 |
9/16 |
0 |
0 |
0 |
5/16 |
-3/16 |
x7 |
17/8 |
0 |
-1/8 |
1/4 |
0 |
1/8 |
0 |
1 |
0 |
-13/8 |
5/8 |
x8 |
15/16 |
0 |
-1/16 |
1/8 |
0 |
1/16 |
0 |
0 |
1 |
-13/16 |
5/16 |
x6 |
7/16 |
0 |
7/16 |
1/8 |
0 |
9/16 |
1 |
0 |
0 |
5/16 |
-13/16 |
F(X0) |
-15115/16 |
0 |
-315/16 |
-1/8 |
0 |
-31/16 |
0 |
0 |
0 |
-13/16 |
-5/16 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
x 8 |
x 9 |
x 10 |
151/19-(-7/19 • 5/19):-16/19 |
1-(0 • 5/19):-16/19 |
11/19-(-7/19 • 5/19):-16/19 |
3/19-(-2/19 • 5/19):-16/19 |
0-(0 • 5/19):-16/19 |
14/19-(-9/19 • 5/19):-16/19 |
5/19-(-16/19 • 5/19):-16/19 |
0-(0 • 5/19):-16/19 |
0-(0 • 5/19):-16/19 |
-2/19-(-5/19 • 5/19):-16/19 |
0-(1 • 5/19):-16/19 |
187/19-(-7/19 • -3/19):-16/19 |
0-(0 • -3/19):-16/19 |
17/19-(-7/19 • -3/19):-16/19 |
12/19-(-2/19 • -3/19):-16/19 |
1-(0 • -3/19):-16/19 |
9/19-(-9/19 • -3/19):-16/19 |
-3/19-(-16/19 • -3/19):-16/19 |
0-(0 • -3/19):-16/19 |
0-(0 • -3/19):-16/19 |
5/19-(-5/19 • -3/19):-16/19 |
0-(1 • -3/19):-16/19 |
22/19-(-7/19 • 10/19):-16/19 |
0-(0 • 10/19):-16/19 |
2/19-(-7/19 • 10/19):-16/19 |
6/19-(-2/19 • 10/19):-16/19 |
0-(0 • 10/19):-16/19 |
8/19-(-9/19 • 10/19):-16/19 |
10/19-(-16/19 • 10/19):-16/19 |
1-(0 • 10/19):-16/19 |
0-(0 • 10/19):-16/19 |
-14/19-(-5/19 • 10/19):-16/19 |
0-(1 • 10/19):-16/19 |
11/19-(-7/19 • 5/19):-16/19 |
0-(0 • 5/19):-16/19 |
1/19-(-7/19 • 5/19):-16/19 |
3/19-(-2/19 • 5/19):-16/19 |
0-(0 • 5/19):-16/19 |
4/19-(-9/19 • 5/19):-16/19 |
5/19-(-16/19 • 5/19):-16/19 |
0-(0 • 5/19):-16/19 |
1-(0 • 5/19):-16/19 |
-12/19-(-5/19 • 5/19):-16/19 |
0-(1 • 5/19):-16/19 |
-7/19 : -16/19 |
0 : -16/19 |
-7/19 : -16/19 |
-2/19 : -16/19 |
0 : -16/19 |
-9/19 : -16/19 |
-16/19 : -16/19 |
0 : -16/19 |
0 : -16/19 |
-5/19 : -16/19 |
1 : -16/19 |
-1521/19-(-7/19 • -5/19):-16/19 |
0-(0 • -5/19):-16/19 |
-41/19-(-7/19 • -5/19):-16/19 |
-3/19-(-2/19 • -5/19):-16/19 |
0-(0 • -5/19):-16/19 |
-34/19-(-9/19 • -5/19):-16/19 |
-5/19-(-16/19 • -5/19):-16/19 |
0-(0 • -5/19):-16/19 |
0-(0 • -5/19):-16/19 |
-17/19-(-5/19 • -5/19):-16/19 |
0-(1 • -5/19):-16/19 |
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 1-у уравнению с переменной x1, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 15/16, составляем дополнительное ограничение:
q1 - q11•x1 - q12•x2 - q13•x3 - q14•x4 - q15•x5 - q16•x6 - q17•x7 - q18•x8 - q19•x9 - q110•x10≤0
q1 = b1 - [b1] = 1415/16 - 14 = 15/16
q11 = a11 - [a11] = 1 - 1 = 0
q12 = a12 - [a12] = 15/16 - 0 = 15/16
q13 = a13 - [a13] = 1/8 - 0 = 1/8
q14 = a14 - [a14] = 0 - 0 = 0
q15 = a15 - [a15] = 11/16 - 1 = 1/16
q16 = a16 - [a16] = 0 - 0 = 0
q17 = a17 - [a17] = 0 - 0 = 0
q18 = a18 - [a18] = 0 - 0 = 0
q19 = a19 - [a19] = -3/16 + 1 = 13/16
q110 = a110 - [a110] = 5/16 - 0 = 5/16
Дополнительное ограничение имеет вид:
15/16-15/16x2-1/8x3-1/16x5-13/16x9-5/16x10≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
15/16-15/16x2-1/8x3-1/16x5-13/16x9-5/16x10 + x11 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x1 |
1415/16 |
1 |
15/16 |
1/8 |
0 |
11/16 |
0 |
0 |
0 |
-3/16 |
5/16 |
0 |
x4 |
187/16 |
0 |
17/16 |
11/8 |
1 |
9/16 |
0 |
0 |
0 |
5/16 |
-3/16 |
0 |
x7 |
17/8 |
0 |
-1/8 |
1/4 |
0 |
1/8 |
0 |
1 |
0 |
-13/8 |
5/8 |
0 |
x8 |
15/16 |
0 |
-1/16 |
1/8 |
0 |
1/16 |
0 |
0 |
1 |
-13/16 |
5/16 |
0 |
x6 |
7/16 |
0 |
7/16 |
1/8 |
0 |
9/16 |
1 |
0 |
0 |
5/16 |
-13/16 |
0 |
x11 |
-15/16 |
0 |
-15/16 |
-1/8 |
0 |
-1/16 |
0 |
0 |
0 |
-13/16 |
-5/16 |
1 |
F(X0) |
-15115/16 |
0 |
-315/16 |
-1/8 |
0 |
-31/16 |
0 |
0 |
0 |
-13/16 |
-5/16 |
0 |
1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 6-ая строка, а переменную x11 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 9-му столбцу, т.е. переменную x9 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-13/16).
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x1 |
1415/16 |
1 |
15/16 |
1/8 |
0 |
11/16 |
0 |
0 |
0 |
-3/16 |
5/16 |
0 |
x4 |
187/16 |
0 |
17/16 |
11/8 |
1 |
9/16 |
0 |
0 |
0 |
5/16 |
-3/16 |
0 |
x7 |
17/8 |
0 |
-1/8 |
1/4 |
0 |
1/8 |
0 |
1 |
0 |
-13/8 |
5/8 |
0 |
x8 |
15/16 |
0 |
-1/16 |
1/8 |
0 |
1/16 |
0 |
0 |
1 |
-13/16 |
5/16 |
0 |
x6 |
7/16 |
0 |
7/16 |
1/8 |
0 |
9/16 |
1 |
0 |
0 |
5/16 |
-13/16 |
0 |
x11 |
-15/16 |
0 |
-15/16 |
-1/8 |
0 |
-1/16 |
0 |
0 |
0 |
-13/16 |
-5/16 |
1 |
F(X0) |
-15115/16 |
0 |
-315/16 |
-1/8 |
0 |
-31/16 |
0 |
0 |
0 |
-13/16 |
-5/16 |
0 |
θ |
0 |
- |
-315/16 : (-15/16) = 41/5 |
-1/8 : (-1/8) = 1 |
- |
-31/16 : (-1/16) = 49 |
- |
- |
- |
-13/16 : (-13/16) = 1 |
-5/16 : (-5/16) = 1 |
- |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x1 |
151024/6656 |
1 |
11024/6656 |
256/1664 |
0 |
11/13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5/13 |
-6/26 |
x4 |
181/13 |
0 |
11/13 |
11/13 |
1 |
7/13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-4/13 |
10/26 |
x7 |
36/13 |
0 |
16/13 |
6/13 |
0 |
3/13 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1256/1664 |
-19/13 |
x8 |
24/13 |
0 |
14/13 |
4/13 |
0 |
1024/6656 |
0 |
0 |
1 |
0 |
10/13 |
-112/26 |
x6 |
1/13 |
0 |
1/13 |
1/13 |
0 |
7/13 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-14/13 |
10/26 |
x9 |
18/52 |
0 |
18/52 |
4/26 |
0 |
1/13 |
0 |
0 |
0 |
1 |
20/52 |
-13/13 |
F(X0) |
-151 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
x 8 |
x 9 |
x 10 |
x 11 |
1415/16-(-15/16 • -3/16):-13/16 |
1-(0 • -3/16):-13/16 |
15/16-(-15/16 • -3/16):-13/16 |
1/8-(-1/8 • -3/16):-13/16 |
0-(0 • -3/16):-13/16 |
11/16-(-1/16 • -3/16):-13/16 |
0-(0 • -3/16):-13/16 |
0-(0 • -3/16):-13/16 |
0-(0 • -3/16):-13/16 |
-3/16-(-13/16 • -3/16):-13/16 |
5/16-(-5/16 • -3/16):-13/16 |
0-(1 • -3/16):-13/16 |
187/16-(-15/16 • 5/16):-13/16 |
0-(0 • 5/16):-13/16 |
17/16-(-15/16 • 5/16):-13/16 |
11/8-(-1/8 • 5/16):-13/16 |
1-(0 • 5/16):-13/16 |
9/16-(-1/16 • 5/16):-13/16 |
0-(0 • 5/16):-13/16 |
0-(0 • 5/16):-13/16 |
0-(0 • 5/16):-13/16 |
5/16-(-13/16 • 5/16):-13/16 |
-3/16-(-5/16 • 5/16):-13/16 |
0-(1 • 5/16):-13/16 |
17/8-(-15/16 • -13/8):-13/16 |
0-(0 • -13/8):-13/16 |
-1/8-(-15/16 • -13/8):-13/16 |
1/4-(-1/8 • -13/8):-13/16 |
0-(0 • -13/8):-13/16 |
1/8-(-1/16 • -13/8):-13/16 |
0-(0 • -13/8):-13/16 |
1-(0 • -13/8):-13/16 |
0-(0 • -13/8):-13/16 |
-13/8-(-13/16 • -13/8):-13/16 |
5/8-(-5/16 • -13/8):-13/16 |
0-(1 • -13/8):-13/16 |
15/16-(-15/16 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
-1/16-(-15/16 • -13/16):-13/16 |
1/8-(-1/8 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
1/16-(-1/16 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
1-(0 • -13/16):-13/16 |
-13/16-(-13/16 • -13/16):-13/16 |
5/16-(-5/16 • -13/16):-13/16 |
0-(1 • -13/16):-13/16 |
7/16-(-15/16 • 5/16):-13/16 |
0-(0 • 5/16):-13/16 |
7/16-(-15/16 • 5/16):-13/16 |
1/8-(-1/8 • 5/16):-13/16 |
0-(0 • 5/16):-13/16 |
9/16-(-1/16 • 5/16):-13/16 |
1-(0 • 5/16):-13/16 |
0-(0 • 5/16):-13/16 |
0-(0 • 5/16):-13/16 |
5/16-(-13/16 • 5/16):-13/16 |
-13/16-(-5/16 • 5/16):-13/16 |
0-(1 • 5/16):-13/16 |
-15/16 : -13/16 |
0 : -13/16 |
-15/16 : -13/16 |
-1/8 : -13/16 |
0 : -13/16 |
-1/16 : -13/16 |
0 : -13/16 |
0 : -13/16 |
0 : -13/16 |
-13/16 : -13/16 |
-5/16 : -13/16 |
1 : -13/16 |
-15115/16-(-15/16 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
-315/16-(-15/16 • -13/16):-13/16 |
-1/8-(-1/8 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
-31/16-(-1/16 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
0-(0 • -13/16):-13/16 |
-13/16-(-13/16 • -13/16):-13/16 |
-5/16-(-5/16 • -13/16):-13/16 |
0-(1 • -13/16):-13/16 |
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 3-у уравнению с переменной x7, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 6/13, составляем дополнительное ограничение:
q3 - q31•x1 - q32•x2 - q33•x3 - q34•x4 - q35•x5 - q36•x6 - q37•x7 - q38•x8 - q39•x9 - q310•x10 - q311•x11≤0
q3 = b3 - [b3] = 36/13 - 3 = 6/13
q31 = a31 - [a31] = 0 - 0 = 0
q32 = a32 - [a32] = 16/13 - 1 = 6/13
q33 = a33 - [a33] = 6/13 - 0 = 6/13
q34 = a34 - [a34] = 0 - 0 = 0
q35 = a35 - [a35] = 3/13 - 0 = 3/13
q36 = a36 - [a36] = 0 - 0 = 0
q37 = a37 - [a37] = 1 - 1 = 0
q38 = a38 - [a38] = 0 - 0 = 0
q39 = a39 - [a39] = 0 - 0 = 0
q310 = a310 - [a310] = 1256/1664 - 1 = 128/832
q311 = a311 - [a311] = -19/13 + 2 = 4/13
Дополнительное ограничение имеет вид:
6/13-6/13x2-6/13x3-3/13x5-128/832x10-4/13x11≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
6/13-6/13x2-6/13x3-3/13x5-128/832x10-4/13x11 + x12 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
x1 |
151024/6656 |
1 |
11024/6656 |
256/1664 |
0 |
11/13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5/13 |
-6/26 |
0 |
x4 |
181/13 |
0 |
11/13 |
11/13 |
1 |
7/13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-4/13 |
10/26 |
0 |
x7 |
36/13 |
0 |
16/13 |
6/13 |
0 |
3/13 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1256/1664 |
-19/13 |
0 |
x8 |
24/13 |
0 |
14/13 |
4/13 |
0 |
1024/6656 |
0 |
0 |
1 |
0 |
10/13 |
-112/26 |
0 |
x6 |
1/13 |
0 |
1/13 |
1/13 |
0 |
7/13 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-14/13 |
10/26 |
0 |
x9 |
18/52 |
0 |
18/52 |
4/26 |
0 |
1/13 |
0 |
0 |
0 |
1 |
20/52 |
-13/13 |
0 |
x12 |
-6/13 |
0 |
-6/13 |
-6/13 |
0 |
-3/13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-128/832 |
-4/13 |
1 |
F(X0) |
-151 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 7-ая строка, а переменную x12 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-6/13).
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
x1 |
151024/6656 |
1 |
11024/6656 |
256/1664 |
0 |
11/13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5/13 |
-6/26 |
0 |
x4 |
181/13 |
0 |
11/13 |
11/13 |
1 |
7/13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-4/13 |
10/26 |
0 |
x7 |
36/13 |
0 |
16/13 |
6/13 |
0 |
3/13 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1256/1664 |
-19/13 |
0 |
x8 |
24/13 |
0 |
14/13 |
4/13 |
0 |
1024/6656 |
0 |
0 |
1 |
0 |
10/13 |
-112/26 |
0 |
x6 |
1/13 |
0 |
1/13 |
1/13 |
0 |
7/13 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-14/13 |
10/26 |
0 |
x9 |
18/52 |
0 |
18/52 |
4/26 |
0 |
1/13 |
0 |
0 |
0 |
1 |
20/52 |
-13/13 |
0 |
x12 |
-6/13 |
0 |
-6/13 |
-6/13 |
0 |
-3/13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-128/832 |
-4/13 |
1 |
F(X0) |
-151 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
θ |
0 |
- |
-3 : (-6/13) = 61/2 |
0 : (-6/13) = 0 |
- |
-3 : (-3/13) = 13 |
- |
- |
- |
- |
0 : (-128/832) = 0 |
-1 : (-4/13) = 31/4 |
- |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
x1 |
15 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
-1/3 |
1/3 |
x4 |
17 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-2/3 |
-1/3 |
21/3 |
x7 |
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
1 |
x8 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2/3 |
-12/3 |
2/3 |
x6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-11/3 |
1/3 |
1/6 |
x9 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1/3 |
-11/3 |
1/3 |
x3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1/2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
2/3 |
-21/6 |
F(X0) |
-151 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
x 8 |
x 9 |
x 10 |
x 11 |
x 12 |
151024/6656-(-6/13 • 256/1664):-6/13 |
1-(0 • 256/1664):-6/13 |
11024/6656-(-6/13 • 256/1664):-6/13 |
256/1664-(-6/13 • 256/1664):-6/13 |
0-(0 • 256/1664):-6/13 |
11/13-(-3/13 • 256/1664):-6/13 |
0-(0 • 256/1664):-6/13 |
0-(0 • 256/1664):-6/13 |
0-(0 • 256/1664):-6/13 |
0-(0 • 256/1664):-6/13 |
5/13-(-128/832 • 256/1664):-6/13 |
-6/26-(-4/13 • 256/1664):-6/13 |
0-(1 • 256/1664):-6/13 |
181/13-(-6/13 • 11/13):-6/13 |
0-(0 • 11/13):-6/13 |
11/13-(-6/13 • 11/13):-6/13 |
11/13-(-6/13 • 11/13):-6/13 |
1-(0 • 11/13):-6/13 |
7/13-(-3/13 • 11/13):-6/13 |
0-(0 • 11/13):-6/13 |
0-(0 • 11/13):-6/13 |
0-(0 • 11/13):-6/13 |
0-(0 • 11/13):-6/13 |
-4/13-(-128/832 • 11/13):-6/13 |
10/26-(-4/13 • 11/13):-6/13 |
0-(1 • 11/13):-6/13 |
36/13-(-6/13 • 6/13):-6/13 |
0-(0 • 6/13):-6/13 |
16/13-(-6/13 • 6/13):-6/13 |
6/13-(-6/13 • 6/13):-6/13 |
0-(0 • 6/13):-6/13 |
3/13-(-3/13 • 6/13):-6/13 |
0-(0 • 6/13):-6/13 |
1-(0 • 6/13):-6/13 |
0-(0 • 6/13):-6/13 |
0-(0 • 6/13):-6/13 |
1256/1664-(-128/832 • 6/13):-6/13 |
-19/13-(-4/13 • 6/13):-6/13 |
0-(1 • 6/13):-6/13 |
24/13-(-6/13 • 4/13):-6/13 |
0-(0 • 4/13):-6/13 |
14/13-(-6/13 • 4/13):-6/13 |
4/13-(-6/13 • 4/13):-6/13 |
0-(0 • 4/13):-6/13 |
1024/6656-(-3/13 • 4/13):-6/13 |
0-(0 • 4/13):-6/13 |
0-(0 • 4/13):-6/13 |
1-(0 • 4/13):-6/13 |
0-(0 • 4/13):-6/13 |
10/13-(-128/832 • 4/13):-6/13 |
-112/26-(-4/13 • 4/13):-6/13 |
0-(1 • 4/13):-6/13 |
1/13-(-6/13 • 1/13):-6/13 |
0-(0 • 1/13):-6/13 |
1/13-(-6/13 • 1/13):-6/13 |
1/13-(-6/13 • 1/13):-6/13 |
0-(0 • 1/13):-6/13 |
7/13-(-3/13 • 1/13):-6/13 |
1-(0 • 1/13):-6/13 |
0-(0 • 1/13):-6/13 |
0-(0 • 1/13):-6/13 |
0-(0 • 1/13):-6/13 |
-14/13-(-128/832 • 1/13):-6/13 |
10/26-(-4/13 • 1/13):-6/13 |
0-(1 • 1/13):-6/13 |
18/52-(-6/13 • 4/26):-6/13 |
0-(0 • 4/26):-6/13 |
18/52-(-6/13 • 4/26):-6/13 |
4/26-(-6/13 • 4/26):-6/13 |
0-(0 • 4/26):-6/13 |
1/13-(-3/13 • 4/26):-6/13 |
0-(0 • 4/26):-6/13 |
0-(0 • 4/26):-6/13 |
0-(0 • 4/26):-6/13 |
1-(0 • 4/26):-6/13 |
20/52-(-128/832 • 4/26):-6/13 |
-13/13-(-4/13 • 4/26):-6/13 |
0-(1 • 4/26):-6/13 |
-6/13 : -6/13 |
0 : -6/13 |
-6/13 : -6/13 |
-6/13 : -6/13 |
0 : -6/13 |
-3/13 : -6/13 |
0 : -6/13 |
0 : -6/13 |
0 : -6/13 |
0 : -6/13 |
-128/832 : -6/13 |
-4/13 : -6/13 |
1 : -6/13 |
-151-(-6/13 • 0):-6/13 |
0-(0 • 0):-6/13 |
-3-(-6/13 • 0):-6/13 |
0-(-6/13 • 0):-6/13 |
0-(0 • 0):-6/13 |
-3-(-3/13 • 0):-6/13 |
0-(0 • 0):-6/13 |
0-(0 • 0):-6/13 |
0-(0 • 0):-6/13 |
0-(0 • 0):-6/13 |
0-(-128/832 • 0):-6/13 |
-1-(-4/13 • 0):-6/13 |
0-(1 • 0):-6/13 |
Решение получилось целочисленным. Нет необходимости применять метод Гомори.
Оптимальный целочисленный план можно записать так:
x1 = 15
x4 = 17
x7 = 3
x8 = 2
x6 = 0
x9 = 1
x3 = 1
F(X) = 151