§ 4.6. Дифференциальные уравнения элементов

И РЕГУЛЯТОРОВ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ

Усилительные элементы. Усилия, развиваемые серво­двигателями, обычно значительно превосходят усилия, требуемые для перестановки органов управления (реек топливных насосов), поэтому в последующих рассуждениях усилия, необходимые для перестановки органов управления, с достаточной степенью точ­ности можно не учитывать.

В этих условиях перемещение поршня серводвигателя пол­ностью определяется количеством рабочей жидкости, прошедшей за элементарный интервал времени <11 через эффективное сечение р,₃/₃ окна, открываемого золотником. Если Др_м — перепад давле­ния, появляющийся в процессе работы в полостях серводвигателя, а 5_П — рабочая площадь его поршня, то уравнение неразрывности потока жидкости имеет вид

8*4у = щ/э V 2Др_м/р_м <и, (4.1)

где йу— элементарное перемещение поршня серводвигателя.

Перепад давления в полостях серводвигателя Др_м может быть определен в виде разности давления рабочей жидкости в аккумуляторе и давления р₀ окружающей среды и принят постоянным для всех режимов работы серводвигателя.

Проходное сечение ц,₃/_а масляных каналов, соединяющих золотник с серводвигателем, определяется конструкцией этих окон (прямоугольные, круглые) и смещением Дх₃ золотника из среднего положения. Предполагаем, что высота поршня золотника точно соответствует высоте окна масляного канала, а зона насы­щения находится вне пределов рабочих положений золотника. С учетом сказанного р,₃/_а = / (Дх₃), поэтому после разложения в ряд и линеаризации получим

М'з/з ⁼ (^М'з/з/^э) (4*2)

Подстановка выражения (4.2) в уравнение (4.1) и переход к относительным координатам

X = Ду!уъ и н Дхз/хзо (4.3)

приводят уравнение (4.1) к виду

Т_с (А/Л) = I, (4.4)

где время серводвигателя

^с ⁼⁼$пУо1У^Г(2Дрм/Рм)(^И'з/з/^з) *эо

характеризует его инерционность (пропорционально рабочей пло­щади поршня).

В операторной форме записи уравнение (4.4) имеет вид

Оо (Р) Ь =1, (4.5)

где собственный оператор серводвигателя

4 (Р) = Т_ср. (4.6)

Разделив оба члена уравнения (4.6) на собственный оператор, можно получить

* = 11(р)5, (4-7)

где передаточная функция серводвигателя

уНр)=1/Мр)=1/(Т_сР) (4.8)

дает возможность построить структурную схему такого серво­двигателя (рис. 4.7, а).

Однако серводвигатель не может обеспечить устойчивую ра­боту регулятора, так как при малейшем смещении золотника из среднего положения поршень серводвигателя перемещается в одно из своих крайних положений до упора. Поэтому серводвигатели в регуляторах дополняются стабилизирующими обратными свя­зями, а уравнения (4.4) или (4.6) должны рассматриваться совме­стно с уравнениями этих связей. Так, например, в регуляторах, оборудованных комбинированной кинематической обратной связью (см. рис. 4.5, а), перемещение золотника 17 определяется разностью

Д*₃ = (ВС/АС) Аг - (,АВ/АС) А$, где Д5 — перемещение точки С рычага АС.

После перехода к относительным координатам (4.3), а также к координатам

г\ = Аг/г₀ и г|> = Д5/5₀ (4.9)

получим

Б = [ВСг₀1(АСх_ъ0) ] г\ — [АВ8₀1(АСх_г0)] \|>.

Координаты г₀ и х_в0 установившегося режима можно подобрать так, чтобы выполнялось условие ВСг₀/(АСх_г0) — 1, и тогда ,

Б = Ч- [АВ$₀/(АСх_а0) ] ф. (4.10)

Перемещение Да точки С определяется разностью Д5 =\Ду — — Д/ перемещения Ду корпуса катаракта 15 (см. рис. 4.5, а) и относительного перемещения Д/ поршня 16 катаракта. В про­цессе работы механизма точка Н опоры пружины смещается на величину Д5_Х = (с/й) Ду. Так как Д5 Ф Д5_Х, то пружина изо­дрома деформируется на величину Д5₂ = Д5 — Д5_Х. Если пре­небречь приведенной массой изодрома (вследствие малости), то уравнение его равновесия К_к + /?_из = 0, где = 0_ИЗ (Л Д 1/сИ) — усилие, развиваемое катарактом 15; Ф_из — фактор торможения изодрома; /?_из = Ь_яв Д^ — усилие пружины 12 и Ь_т — ее же­сткость. Следовательно,

ь_из [д₅ - ш ду] + #_из и (Да - ду)/ап = о.

Полученное уравнение после перехода к относительным коор­динатам (4.9) и к координате X — &у/у₀ приводится к виду

♦ = (Т'азР + С/О) _Уок/ 1(Т_тр + 1) 5₀ ]. .(4.11)

где время изодрома

^ив ⁼ ^иа/^из* (4*12)

Перемещение Д$ (\|)) точки С является внутренней координатой серводвигателя с комбинированной обратной связью, поэтому подстановкой выражения (4.11) в формулу (4.10) может быть исключено. Это дает

Е = Л — СГиэРиэ Р + &с) к/(Т_яър + 1), (4-13)

где

р_иа == АВу₀/(АСх_э0)-_у к_с = АВу₀с/(АСх₃₀(1) (4.14)

или

5 = т\-У_яАр)Ь-Уос(р)К (4.15)

где передаточные функции соответственно изодромной и жесткой обратных связей:

Ут 00 = Т'иэРизРЛ^изР "Ь О»

^ос(р) = к_с/(Т_яър + 1).

Подстановка выражения (4.15) в уравнение (4.7) приводит последнее к виду

Ь = у\ (/>)[»1 - ^из 00 X - Г_ос (р) Ч (4.17)

раскрывающему возможность построения структурной схемы сер­водвигателя с комбинированной обратной связью (см. рис. 4.7, б).

С учетом выражений (4.8) и (4.16) уравнение (4.17) можно представить в виде

Т_СТ_ЯЗ {сРШ?) + (Г_с + р_изГ_из)(сйД*0 + к_с1 = Т_КЪ{йЩй1) + т, (4.18) или в операторной форме

й₀ (р) Я, = и_с (р) г), (4.19)

где собственный оператор и оператор воздействия

4 (р) — Т_сТ_азР* -(- (Т_с -)- Риз^из) Р ~Ь &с» | . _ОЛЧ

МЙ = Г„,+ 1. | <⁴'²⁰>

Уравнение (4.18) является наиболее общим для серводвигате­лей с различными обратными связями. Действительно, при с = 0 (см. рис. 4.5, а) комбинированная обратная связь становится изодромной. В этом случае в соответствии с выражением (4.14) к_с = 0, и тогда дифференциальное уравнение серводвигателя с изодромной обратной связью получает вид

Т_сТ_Изтси²) + (То + Рив^изХ^О = + Т). (4.21)

Так как в данном случае и У_ос (р) = 0, то структурная схема серводвигателя с изодромной обратной связью получает вид, показанный на рис. 4.7, г. Если серводвигатель оборудован только жесткой обратной связью, то применительно к схеме, показанной на рис. 4.5, а, это равносильно принятию условия ⁰⁰> что в соответствии с выражением (4.12) приводит к усло­вию Т_ш — 0. С учетом этого условия уравнение (4.18) для серво­двигателя с жесткой обратной связью получает вид

Т_с (ЛДМ) + = т] (4.22)

с собственным оператором и оператором воздействия

4 (Р) = Т_ср + к_с', и_с (р) = 1. (4.23)

Так как в этом случае и У_ИЗ (р) = 0, то структурная схема серводвигателя с жесткой обратной связью получает вид, пока­занный на рис. 4.7, в.

В серводвигателе со следящим поршнем (см. рис. 4.2, г) жест­кая обратная связь обеспечивается самой конструкцией связи поршня с золотником. Площадь проходного сечения р,₃/₃ у золот­ника зависит в этом случае от перемещения х₃ золотника и пере­мещения у серводвигателя. Так как |1₃/₃ = / (х₃; у), то после раз­ложения в ряд и линеаризации получим

Н'з/з ⁼ (^И'з/з/^в) (дЫг1ду

Рис. 4.8. Схема чувствительного элемента ча­стоты вращения

Подстановка этого выражения в ура­внение (4.1) вместо (4.2) после ряда преобразований приводит к уравнению (4.22).

Если принять х_в0=у₀,то к_с= 1.

Если же у серводвигателя, обратные связи отсутствуют, то к_е — 0 и Г_из = = 0, что дает уравнение серводвига­теля без обратной связи ¹

Т_с (Щй1) = г) (4.24)

или с учетом выражения (4.6)

й_с (р) X = д. (4.25)

Структурная схема такого серводвигателя показана на рис. 4.7,а при I = Т).

Чувствительный элемент частоты вращения. Для оценки ди­намических свойств чувствительного элемента вращения регуля­тора непрямого действия (рис. 4.8) можно воспользоваться диф­ференциальными уравнениями (3.43) или (3.44). При наличии силовых обратных связей в этих уравнениях дополнительно учитываются усилия, с которыми обратная связь воздействует на чувствительный элемент.

Для получения дифференциального уравнения чувствитель­ного элемента можно также воспользоваться уравнением Лаг­ранжа 2-го рода, пригодного для получения дифференциального уравнения любого элемента САР.

Уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид

сЦдТ/дх'д/са - дТ/дхг = ^ (I = 1,2,..., л), (4.26)

где Т — кинетическая энергия элемента, определяемая выра­жением-

т =Ът_{(х1У/2-, (4.27)

х₁ — обобщенная *-я координата; ($ — обобщенные силы, опре­деляемые алгебраической суммой:

<2, = — дП/дхс + дК/дх'1 + ({). (4.28)

Здесь П — потенциальная энергия элемента, являющаяся функцией обобщенной координаты; ^ — диссипативная функция, характеризующая рассеяние энергии в элементе, зависящая от обобщенных скоростей и определяемая по формуле:

= дК/дх'г = — Ц (*;•) | х^г1 \/х1 (4.29)

Если в элементе энергия расходуется на преодоление сил трения без смазочного материала, то / (х^) = 1; если в элементе

преодолеваются силы вязкого (гидравлического) трения, то / (х'{) = х'{.

Обобщенной координатой х₁ чувствительного элемента (см. рис. 4.8) является перемещение г = х_г муфты вдоль оси Ог (Ох). Так как конструктивные размеры чувствительного элемента изве­стны, то текущий радиус вращения грузов

г — г₀ + 15Ш а (4.30)

и перемещение муфты

г = а зт а. (4.31)

Кинетические энергии чувствительного элемента

Т = 7\ + Т₂ + Г,- (4-32)

Здесь 7\ — энергия вращения двух грузов вокруг оси Ог, определяемая соотношением 7\ = 2т©²г²/2 (два груза, каждый массой пг). Так как 51П а = г/а, то с учетом выражения (4.30) получим

7\ = тсо² [г₀ + Ща) г]²; (4.33)

Т₂ — кинетическая энергия поворота грузов вокруг точки А по дуге окружности радиуса 1_Х со скоростью = / (аа]сИ) — 1а'. Так как а — агсзш (г/а), то

Т₂ = 2т (1а')²]2 = тР (г')²/(а² — г²); (4.34)

Т₃ — кинетическая энергия массы М, движущейся вдоль оси Ог (муфта, золотник, часть пружины), определяемая выражением:

Т₃ = М (г')²/2. (4.35)

Подстановка соотношений (4.33)—(4.35) в формулу (4.32) дает

Т = та,² [г₀ + (1]а) г)* + т1 (г')²/(а² — г²) + М (г')*/2. (4.36) Следовательно,

дТ/дг' = 2тРг'](с? — г²) + Мг'; (4.37)

дТ/дг = 2т (1/а) [г₀ + (1/а)г] ю² + 2т1²г (г')²/(а² —г²)²; (4.38) ё (дТ/дг')/й1 = [М + 2/п/²/(а² — г²) ] г" — [Ш^гг/(а² —

— г²)²] (г')². (4.39)

Потенциальная энергия чувствительного элемента также имеет три слагаемых:

П = П₁ + П_г + Яз. (4.40)

Здесь П₁ — потенциальная энергия масс М, движущихся вдоль оси:

Л_х = М&г;

#₂ — потенциальная энергия грузов в положении после поворота плеча I на угол а, определяемая выражением:

П₂ = 2 т§1 С05 а = 2 т§1 У 1 — зт² а

или, с учетом уравнения (4.31), формулой

П₂ = 2 т1§ У а²-г²! а; (4.42)

#₃ — потенциальная энергия деформации пружины; е^сли Е₀ (г|э) — усилие предварительной деформации пружины, зависящее во всережимном регуляторе от положения г|? органа управления, а Ь — ее жесткость, то при постоянной жесткости

#₃ = Е₀ (г|э) 2 + Ьг²/2. (4.43)

Силы трения без смазочного материала в чувствительных элементах рассматриваемого типа чрезвычайно малы и ими можно пренебречь, поэтому диссипативную силу можно представить произведением

<Зя - -Ъг'. (4.44)

В соответствии с выражением (4.28) должны быть определены производные потенциальной энергии по обобщенной координате дП/дг = дП_г/дг + дП₂/дг + дЛ₃/дг (4.45)

или с учетом выражений (4.41)—(4.43) уравнением

дП/дг = М§ + Е₀ МО + — 2т§1/(а У а² — г²)] г. (4.46)

Подстановка выражений (4.38), (4.39), (4.44) и (4.46) в уравнение (4.26) приводит последнее к виду

[М + 2га/²/(а² - г²)] г" - [6т1²г/(а² - г²)²] (г')² + Ъг' +

+ [Ь — 2т§1/(а У а² — г²)] 2 = 2т (1/а) [г₀ + (//а) г] со² —

- АГ^-ДоО». (4.47)

Таким образом, получено нелинейное неоднородное диффе­ренциальное уравнение 2-го порядка.

Для нахождения на его основе соответствующего линейного дифференциального уравнения следует перейти к малым откло­нениям от заданного равновесного режима (г₀; со₀) так, что

г — г₀ + Дг; со = со₀ + Дсо; гр = г|>₀ + А\р, (4.48)

а коэффициенты дифференциального уравнения разложить в ряд Тейлора с сохранением лишь первых производных.

Введем обозначения:

Разложение в ряд Тейлора после линеаризации получит вид:

а₄ (г) = а_г (г₀) + [йа_г (г)/йг]₀ Дг;

«1(2) = а_х (г₀) + [йа_х (г)/йг]_а Дг;

с (г) = с (г₀) + [<к (г)/йг]₀ Аг; (4.50)

Ь (г; ш) = Ь(г₀; со₀) + [Л (г; <о)Д*г]₀ Дг +

+ [56 (г; <о)/д<о]₀ Да».

Так как г* — Дг*; г' = Дг'; Е (\|>) = Е₀ (\|>₀) + + [дЕ (\)))/<Э \|)]₀ Д\|), то подстановка соотношений (4.50) в уравне­ние (4.47) с учетом выражений (4.48) и (4.49) дает

Да (г₀) Дг" — % (г₀) (Дг')^а + д Аг' +

+ с (г₀) (г₀ + Дг) = Ь (г₀; (о₀) +

+ 1дЬ (г; <о)/Зг]₀ Дг + [дЬ (г; ю)/дш]₀ Дсо —

— Ыо* (г)/аг ]₀ Дг Дг' + (г)/&1₀ Дг (Дг')^а —

— [А; (г)/Уг ]₀ Дг (г₀ + Дг) — М§ — Е₀ 0|)_о) — ЫЕ (^)/^ ]₀ Д\|з.

(4.51)

В полученном уравнении члены а_г (г₀) (Дг')²; Ыа₂ (г)/с1г]₀ Дг Дг"; Ыа^ {г)!йг ]₀ Дг (Дг')^а; Ыс (г)/йг ] Дг^а имеют следующий порядок малости, в связи с чем ими можно пренебречь.

Кроме того, условие статического равновесия при г₀ = сопз1, когда Дг" = Дг' = Дг = А со = Д\|> = 0, имеют вид

с (г₀) г₀ — Ь (г₀; ш₀) — М§ — Е₀ (ф₀).

С учетом сказанного уравнение (4.51) приводится к виду а_г (г₀) Дг' + О Дг' + {с (г₀) + [ск (г)/йг ]₀ г₀ —

— [дЬ (г; ©)/дг]₀} Дг = [д& (г; <о)/д<о]₀ Д<о—

— ЫЕ_а (ф)Дй|>]₀ Дф. (4.52)

В полученном уравнении

дЬ (г; <о)/дсо = 4т/ [г₀ + (1/а) г₀] ш₀/й; (4.53)

дЬ (г; со)/<Эг = 2т (1/а)² ©о; (4.54)

с (го) + № (г)/йг]₀ г₀ = Ь — 2т§1а/(а² — 2о)^3/2. (4.55)

Выражение (4.55) характеризует жесткость пружины с учетом силы тяжести грузов, отклоняющихся от вертикали.

Разность

с (г₀) + [<2с (г)/йг]₀ г₀ — [ЗЬ (г; со)/3г]₀ = Ь — 2тд1а/(а² — го)^3/2 —

-2т(1/а)²<4 = Р_р (4.56)

является фактором устойчивости чувствительного элемента, где 2т (//а)^а = с1А/йг (А — инерционный коэффициент чувствитель­ного элемента).

Сила тяжести грузов 2тд значительно меньше усилия пру­жины, поэтому с достаточной степенью точности ею можно пре­небречь и допустить, что 2т§ « 0. В этом случае

Р_р = Ь — 2т {1/а)² а>о = дЕ/дг — со* А А !&г.

Коэффициент

«2 (го) = М + 2 т1²/(а² — г1) = ц, (4.57)

представляет собой массу чувствительного элемента, приведенную к оси движения муфты Ог, причем М — масса муфты и золотника, а второе слагаемое — приведенная масса грузов.

С учетом выражений (4.53)—(4.57) уравнение (4.52) приво­дится к виду

\1 Дг" + Ф Дг' + Рр Дг = Лсо₀ Дсо, (4.58)

где А — инерционный коэффициент чувствительного элемента, определяемый выражением:

А = 2т1 [г₀ + (1/а) г₀]/а. (4.59)

После перехода к относительным координатам (3.31) и деления всех членов уравнения на коэффициент при ср уравнение (4.58) приводится к виду (3.43) или (3.44) при а_р = 0, так как при выводе уравнения (4.58) не учитывалась возможность перемеще­ния верхней опоры пружины (см. рис. 4.8) при смене скоростного режима.

Автоматический регулятор непрямого действия. Дифферен­циальные уравнения чувствительного элемента (3.44) и усили­тельного элемента (4.19) дают возможность получить дифферен­циальное уравнение регулятора непрямого действия. Если исклю­чить из этих уравнений внутреннюю координату *п, то

(р) 4 О) я. = м_с (р) ф — и_с (р) е_ра_р. (4.60)

Подстановкой собственных операторов воздействия, например (3.45) и (4.23), можно получить развернутое дифференциальное уравнение регулятора непрямого действия. Так, например, при наличии в регуляторе жесткой обратной связи это уравнение имеет вид

4_Р(р)Я = Ф — 0_ра_р, (4.61)

где собственный оператор

<^нр (р) = ТрТ_ср³ + (Трк_с + Т_КТс) р² + (Т_Кк_с + Т_с6_г) р +

+ 6А- (4-62)

При изодромной или комбинированной обратной связи урав­нение регулятора получает четвертый порядок.

Структурные схемы регуляторов непрямого действия с раз­личными обратными связями показаны на рис. 4.7, 5, е, ж.