10. В чем состоят достоинства и недостатки аналитических методов оптимизации?

Достоинство аналитических методов заключается в возможности получения решения в явной аналитической форме, позволяющей проводить детальный анализ процессов, протекающих в исследуемой системе, в широком диапазоне изменения параметров системы. Результаты в аналитической форме являются основой для выбора оптимальных вариантов структурно-функциональной организации системы на этапе синтеза. Недостаток аналитических методов – использование целого ряда допущений и предположений в процессе построения математических моделей и невозможность, в некоторых случаях, получить решение в явном виде из-за неразрешимости уравнений в аналитической форме, отсутствия первообразных для подынтегральных функций и т.п. В этих случаях широко применяются численные методы.

11. В чем состоит сущность метода равномерного поиска(перебора)?

В сущности, перебор - это решение задач, возникающих из заданной, когда значение некоторого искомого параметра фиксируется различным образом, и производится выбор того из рассмотренных значений, которое дает наиболее подходящее решение. Часто каждая из рассматриваемых задач с фиксированным значением данного параметра в свою очередь решается переборными методами. Тогда говорят о многоуровневом или иерархически устроенном алгоритме. Основываясь на столь общем определении перебора, можно дать лишь тривиальные рекомендации о способах его выполнения (однако, и они иногда полезны). К счастью, рассматриваемые задачи, кроме возможности их решения методами перебора, обычно имеют и другие характерные общие особенности. Это позволяет создавать, изучать и применять общие методы перебора.

Основная задача при реализации переборных методов заключается в нахождении такого порядка элементов перебора, при котором искомый элемент встретится как можно раньше. Это задача сокращения перебора. Существуют и другие проблемы, связанные с этим методом, например, проблема оптимизации генерации элементов перебора, но о них здесь речи не пойдет.

12. В чем состоит сущность метода Гаусса – Зейделя?

Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения x^(k+1)  его уже полученные компоненты x₁^(k+1), ...,x_{i - 1}^(k+1) сразу же используются для вычисления x_i^(k+1).

В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:

x₁^(k+1) = c₁₁x₁^(k) + c₁₂x₂^(k) + ... + c_1n-1x_n-1^(k) + c_1nx_n^(k) + d₁ x₂^(k+1) = c₂₁x₁^(k+1) + c₂₂x₂^(k) + ... + c_2n-1x_n-1^(k) + c_2nx_n^(k) + d₂ ... x_n^(k+1) = c_n1x₁^(k+1) + c_n2x₂^(k+1) + ... + c_nn-1x_n-1^(k+1) + c_nnx_n^(k) + d_n где x⁽⁰⁾ - некоторое начальное приближение к решению.

Таким образом i-тая компонента (k+1)-го приближения вычисляется по формуле

xi(k+1) = ∑ j=1i-1 cijxj(k+1) + ∑ nj=i cijxj(k) + di , i = 1, ..., n

(1.20)

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности ε в упрощенной форме имеет вид:

|| x ^(k+1) - x ^(k) || ≤ ε.

Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений