1.2. Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод расчета основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемая р, и наоборот – функции переменной р отвечает определенная функция времени.

Переход от функции времени к функции р осуществляют с помощью преобразования Лапласа. Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а интегрирования – к делению.

1.2.1. Преобразование Лапласа

Условимся под р понимать комплексное число р = a + jb,

где а – действительная, b – мнимая части комплексного числа.

В дальнейшем коэффициент b ( с учетом знака) принято называть мнимой частью. Функцию времени ( I, U, э.д.с.) обозначают f(t) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p) называемая изображением, определяется она так:

F(p) = f(t)e^-ptdt.

Соответствие между функциями F(p) и f(t) записывают так:

F(p) _·=^· f(t).

Знак _·=^· называют знаком соответствия.

1.2.2. Алгоритм расчета операторным методом

1.Определяем в докоммутационном режиме i_L (0_-) u u_C (0_-).

2.Составляем схему замещения в операторном виде для послекоммутационного режима.

3.Рассчитываем получившуюся схему любым известным методом, находя изображения соответствующих величин в виде правильных дробей

I_i(p) = N_i(p) / M_i(p); U₂(p) = S_i(p) / Q_i(p).

4.Переход к оригиналам можно осуществить двумя методами:

а). Расчет производим по справочнику, пользуясь формулами соответствия.

б). Расчет производим с использованием формул разложения:

i(t) = ∑ (N(p_k) / M`(p_k)) e^pkt, или

i(t) = (N(p₁) / M`(p<sub>1</sub>)) e<sup>p1t</sup> + ( N(p<sub>2</sub>) / M`(p₂)) e^p2t +…+( N(p_n) / M`(p_n)) e^pnt ,

где р_к – корни М(р) =0, к=1, n; М΄ (р_к) проиводная от М(р).

2. Периодические несинусоидальные токи в линейных

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

2.1. Определение периодических несинусоидальных токов и напряжений. Периодическими несинусоидальными токами и напря­жениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Они возникают при четырех различных режимах работы электри­ческих цепей (и при сочетаниях этих режимов):

1. когда источник э. д. с. (источник тока) дает несинусоидальную э. д. с. (несинусоидальный ток), а все элементы цепи — активные сопротивления, индуктивности и емкости — линейны, т. е. от величины тока не зависят;

2. если источник э. д. с. (источник тока) дает синусоидальную э. д. с. (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейны;

3. когда источник э. д. с. (источник тока) дает несинусоидальную э. д. с. (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи вхо­дят одно или несколько нелинейных сопротивлений;

4. если источник э. д. с. (тока) дает постоянную или синусои­дальную э. д. с. (ток), а один или несколько элементов цепи перио­дически изменяются во времени.

2.2. Изображение несинусоидальных токов и напряжений с помощью рядов Фурье. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию f(x) с периодом 2л, удовлетворяющую условиям Дирихле¹, можно разложить в ряд Фурье.

Переменная величина х связана со временем t соотношением

где Т — период функции во времени.

Таким образом, период функции по х равен 2π, а период той же функции по времени равен Т.

Ряд Фурье записывают так:

(2.1)

г де А₀ — постоянная составляющая; - амплитуда синусной (изме­няющейся по закону синуса) составляющей первой гармоники; - амплитуда косинусной составляющей первой гармоники; - ампли­туда синусной, составляющей второй гармоники и т. д.

Здесь

Так как

то ряд Фурье (2.1) можно записать в другой форме:

где - амплитуда k-гармоники ряда Фурье.

Гармоники, для которых k — нечетное число, называют нечетными; для которых k —четное число, — четными.

2.3. Графический (графо-аналитический) метод определения гармоник ряда Фурье. Графический метод определения гармоник ряда Фурье основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции f(x), равный , разбивают на п равных частей и интегралы заменяют суммами.

По определению, постоянная составляющая

где p — текущий индекс, принимающий значения от 1 до n; f_p (x) — значение функции f(x) при , т. е. в середине р-го интервала.

Амплитуда синусной составляющей k-гармоники ряда

амплитуда косинусной составляющей k-гармоники

Здесь - соответственно значения функций , т.е. в середине р-го интервала.

При расчетах по формулам обычно достаточно разде­лить период на n=24 или 18 частей, а в некоторых случаях и на меньшее число частей.

Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необ­ходимо выяснить, не обладает ли раскладываемая функция симмет­рией относительно осей координат. Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать, какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая f(х) симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая , и все чет­ные гармоники отсутствуют, а вычисляя при нечетных k, следует учесть, что за первый полупериод равна сумме за второй полупериод.

Знак углов в формуле зависит от знаков A'_k и А"_к. При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для k-гармоники должен быть взят в k раз большим, чем для первой гармоники.

Так, например, если некоторый отрезок по оси абсцисс для пер­вой гармоники выражает собой угол /3, то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, т. е. 3( /3) = .

Рис. 3.1.

2.4. Расчет токов и напряжений при несинусоидальных источ­никах питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток источника тока или э. д. с. источника э. д. с.) должны быть пред­ставлены рядами Фурье.

Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой-ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдельных гар­моник. Аналогично, мгновенное значение напряжения на любом участке схемы равно сумме мгновенных значений напряжений отдель­ных гармоник на этом участке. Расчет производят для каждой из гармоник в отдельности с помощью уже известных приемов.

Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от дей­ствия постоянной составляющей э. д. с. или источника тока, после этого - токи и напряжения от действия первой гармоники, затем от второй, третьей и т. д.

При расчете токов и напряжений, возникающих от действия по­стоянной составляющей э. д. с, необходимо иметь в виду, что паде­ние напряжения на индуктивности L при постоянном токе равно нулю, а также что постоянный ток через емкость С не проходит.

При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивление X_L растет прямо пропорционально частоте. Поэтому для k-гармоники в k раз больше, чем для первой гармоники :

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому для k-гармоники в k раз меньше, чем для первой гармоники :

Для каждой гармоники можно построить векторную диаграмму. Однако откладывать на векторной диаграмме токи и падения напря­жения различных частот и тем более векторно складывать токи и падения напряжения различных частот недопустимо, поскольку угло­вые скорости вращения векторов разных частот неодинаковы.

Активные сопротивления, если частоты не очень велики, полагают от частоты не зависящими^.

При расчете каждую гармонику выражают комплексным числом. Суммирование одноименных гармоник производят путем сложения комплексных чисел или векторов на комплексной плоскости.

2.5. Ряд Фурье в комплексной форме записи. Как известно, в ряд Фурье можно разложить любую периодическую функцию f(t), удовлетворяющую условиям Дирихле.

Обозначим период функции Т, а основную частоту — . Ряд Фурье можно записать двояко.

Первая форма записи:

, (1)

вторая форма записи:

, (2)

где A₀ — постоянная составляющая ряда; Ak —амплитуда k-гармоники ряда; — начальная фаза k-гармоники;

(3)

Из курса математики известно, что . Следовательно,

(4)

Подставив правую часть формулы (5) в формулу (1), получим

(5)

Обозначим:

(6)

Тогда ряд (5) можно записать так:

(7)

Формула (7) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс k может принимать все целые числовые зна­чения от — до +, но не может равняться нулю, так как посто­янная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.

Пример 4. К катушке индуктивности, параметры которой , приложено несинусоидальное напряжение . Определить мгновенное значение тока в цепи этой катушки.

РЕШЕНИЕ: по условию задачи несинусоидальное напряжение содержит только 1-ю и 3-ю гармоники (942 : 614) = 3.

Сопротивление катушки для 1-й и 3-й гармоник:

Амплитуды токов гармоник:

Узлы сдвига фаз для гармоник:

Цепь индуктивного характера, следовательно, ток гармоник отстает от напряжения:

.