5. Дифференциальные уравнения второго порядка: вид, общее решение, начальные условия, задача Коши.

Дифференциальным уравнением второго порядка называ- ется уравнение, связывающее независимую переменную, неиз- вестную функцию и ее производные первого и второго порядков. два вида записи дифференциальных уравнений второго порядка:

1) общий вид: F(x,y,y',y'')=0

2) нормальный вид : y''=f(x,y,y')

Общее решение дифференциального уравнения второго по- рядка имеет вид y=φ(x, ), где С1 и С2-произвольные постоянные

Начальные условия для уравнений второго порядка имеют вид y( .

Они задают точку , через которую проходит интеграль- ная кривая, и угловой коэффициент касательной к инте- гральной кривой в этой точке.

Задача Коши – это задача нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям

Чтобы из общего решения y=φ(x, ), выделить частное ре- шение, удовлетворяющее начальным условиям , необходимо решить систему двух уравне- ний с двумя неизвестными . Чтобы получить частное решение, полученные значения C1 C2 необходимо подставить в общее решение.

6. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ): определение, вид общего решения. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения ЛОДУ в зависимости от корней характеристического уравнения.

Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка называется уравнение вида y''+p(x)y'+q(x)=0 где P(x) и q(x)-коэфиценты

Две функции называются линейно зависимыми, если их связывает соотношение -постоянная. В противном случае функции называются линейно независимыми.

Общее решение ЛОДУ (1) второго порядка имеет вид: y= где , - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а произвольные постоянные. Если коэффициенты p , q – постоянные, то для нахождения решения ЛОДУ , составляется характеристическое уравнение

Это алгебраическое квадратное уравнение, которое, в зависимости от знака дискриминанта D= , имеет корни: различные действительные, или равные действительные, или комплексно- сопряженные.

Если D>0 - различные действительные корни, то ВИД общего решения: y=

Если D=0 –равные, действительные корни, то ВИД общего уравнения: y=

Если D<0 , то ВИД ур-ия: y= ( )

7. Свойства линейных неоднородных дифференциальных уравнений (лнду) второго порядка. Решение лнду с правой частью вида

Линейным неоднородным дифференциальным уравнени- ем (ЛНДУ) второго порядка называется уравнение вида y''+p(x) y' +q(x)y=F(x) где, p(x) q(x) коэффициенты, а f (x) правая часть ЛНДУ или свободный член.

Свойства:1. Если функция является решением ЛНДУ, а функция решением соответствующего ЛОДУ, то яв- ляется решением ЛНДУ.

2. Если функция является решением ЛНДУ с правой ча- стью , а функция решением ЛНДУ с правой ча- стью ,

то функция является решением ЛНДУ с правой частью (принцип супер- позиции).

8. Решение ЛНДУ с правой частью вида .     cos sin x f x e M x N x     

9. Числовые ряды. Определение, члены ряда, гармонический ряд, частичная сумма ряда. Определение сходящегося и расходящегося рядов, суммы ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточный признак расходимости.

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда). Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Выражение вида: называется числовым рядом.

Числа, называются членами ряда, – общим ( -ым) членом ряда.

Ряд имеет вид 1+ + +……+ = и называется гармоническим рядом. Сумма конечного числа первых членов ряда называется частичной суммой. Частичные суммы ряда имеют вид: = - первая частичная сумма вторая част. сумма, – третья част.сумма.

- n-ая частичная сумма. Из частичных сумм можно построить последовательность.

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности частичных сумм (а S называется суммой ряда).

Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела.

Теорема (необходимый признак сходимости): Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю при n→∞

Следствие (достаточный признак расходимости ряда): то ряд расходится.