1. Дифференциальные уравнения первого порядка: определение, три формы записи. Общее и частное решения, начальное условие. Задача Коши. Интегральная кривая.

Дифференциальным уравнением первого порядка называ- ется дифференциальное уравнение, содержащее независимую пе- ременную, неизвестную функцию и ее первую производную. Дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в одной из следующих форм:

1) общая форма F(x,y,y')=0

2) нормальная форма y'=f(x,y)

3) дифференциальная форма M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, y=y(x,C) которая при любом до- пустимом значении постоянной является решением ДУ.

Начальным условием для дифференциального уравнения первого порядка называется условие вида =

Частным решением дифференциального уравнения, называ- ется решение, удовлетворяющее начальному условию.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши и записывается в виде

Графиком частного решения является кривая в плоскости x0y, называемая интегральной кривой, и проходящая через точку (

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: вид, метод решения.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися пере- менными называется дифференциальное уравнение вида

или y'= (y)

Характерное свойство этих уравнений – все входящие в него функции имеют вид произведения функции только аргумента X на функцию только аргумента Y.

Метод решения дифференциального уравнения (1):

а) разделить переменные, то есть преобразовать уравнение так, чтобы переменные и стояли в разных частях уравнения x y б) проинтегрировать левую и правую части уравнения 2СПОСОБ: а) представить производную как отношение дифференциа- лов б) разделить переменные в) проинтегрировать

3. Однородные дифференциальные уравнения в нормальной форме: вид, метод решения.

Однородным дифференциальным уравнением первого по- рядка в нормальной форме называется уравнение первого порядка вида y'=f

Метод решения этих уравнений состоит в сведении их к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены неизвестной функции на новую функцию.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: вид, метод решения.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y'+a(x)y=f(x) где a(x)– коэффициент, f(x)– правая часть (свободный член) уравнения.

Будем искать решение этого уравнения в виде произве- дения двух функций u=u(x) и v=v(x) . При этом ясно, что одну из введенных функций мы можем выбрать по своему усмотрению, а вторую должны подобрать так, чтобы произведение y=uv было решением исходного уравнения.

Метод вариации произвольной постоянной /Метод состоит из трех этапов: 1) составим новое дифференциальное уравнение, заменив в ура в- нении правую часть на нуль. Полученное уравнение является дифференциальным уравне- нием с разделяющимися переменными. Разделим переменные. в полученном решении уравнения заменим постоянную С на функцию z =z( x). Найдем такое значение z(x), чтобы функция была решением дифференциального уравнения. Проинтегрировав левую и правую части уравнения, получим о б- щее решение. подставим найденное значение в функцию z получим

    , A x y z x C e  '

общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.