2. Построение и анализ сетевых моделей планирования и управления

Задача 1. Построение сетевого графика.

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме их выполнения приведены в следующей таблице:

Таблица 2

Имя работы	A	B	C	D	E
Опирается на работу		F, H	L	K, G	L
Нормальный срок (дни)	18	8	8	18	32
Ускоренный срок (дни)	17	6	7	14	29
Норм. стоим. (млн. р.)	81	60	70	89	111
Плата за ускор. (млн. р.)	3	8	4	12	6

Имя работы	F	G	H	K	L
Опирается на работу		A, C	K, G	A, C
Нормальный срок (дни)	34	7	11	7	8
Ускоренный срок (дни)	29	6	9	6	6
Норм. стоим. (млн. р.)	108	51	60	51	55
Плата за ускор. (млн. р.)	15	3	4	3	6

Требуется:

1.1. С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.

1.2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

Задача 2. Оптимизация сетевого графика

Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 3 дня. В какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона?

Методические указания

1. Построение и экономико-математический анализ

моделей межотраслевого баланса

Задача 1.

1. Недостающие величины в шахматной таблице МОБ находятся из основных балансовых соотношений:

, (1)

, (2)

где X_i - валовый выпуск продукции i-й отрасли; X_ij – текущее производственное потребление продукции i-й отрасли в j-й отрасли; Y_i - конечная продукция i-й отрасли; Z_j - добавленная стоимость, созданная в j-й отрасли; n - количество отраслей. Конечная продукция i-й отрасли Y_i , например, может включать:

• потребление домохозяйств;

• прирост запасов и резервов;

• капитальные вложения, возмещение потерь и выбытия основных производственных фондов;

• экспортно-импортное сальдо, т.е. разность между экспортом и импортом продукции данной отрасли.

Добавленная стоимость j-й отрасли (Z_j) определяется как разность между стоимостью валового выпуска и всеми материальными затратами j-й отрасли. Основными составляющими добавленной стоимости являются:

• годовая заработная плата, начисленная всем занятым в этой отрасли рабочим и служащим с учетом отчислений во внебюджетные фонды;

• амортизация, начисленная в j-й отрасли за год;

• годовая прибыль всех предприятий данной отрасли и т.д.

Используя формулы (1), (2) последовательно находим:

Таким образом, шахматная таблица МОБ примет вид (табл. 3)

Таблица 3

Р аспределение продукции	Производственное потребление в отраслях			Конечный	Валовый
Затраты на производство	Промышленность	Сельское и лесное хозяйство	Прочие отрасли	продукт	выпуск
Промышленность	60	20	10	210	300
Сельское и лес. хоз-во	45	10	20	125	200
Прочие отрасли	30	40	50	80	200
Добавленная стоимость	165	130	120
Валовый выпуск	300	200	200
Труд. рес. (млн. чел.-лет)	18	15	25
Осн. Фонды (млрд. руб.)	450	100	250

2. Коэффициенты прямых затрат определяются по формуле:

. (3)

Тогда ; ; и т.д., а матрица прямых затрат A = (a_ij) примет вид

.

Коэффициенты прямой трудоемкости (t_j) и прямой фондоемкости (f_j ) продукции j-й отрасли находятся по формулам:

; ; (4)

где L_j - трудовые ресурсы j-й отрасли; - основные производственные фонды j-й отрасли. По формулам (4) находим:

; ; ,

; ; .

Содержательный смысл найденных коэффициентов a_ij, t_j, f_j состоит в следующем. Коэффициент прямых затрат a_ij характеризует затраты продукции i-й отрасли, необходимые для производства единицы продукции j-й отрасли. Так a₁₂ = 0,1 означает, что для производства продукции сельского и лесного хозяйства на 1 млн. руб. необходимо затратить продукции промышленности на 100 тыс. руб. (удобрения, гербициды, горюче-смазочные материалы, зап. части и т. д.). Коэффициент прямой трудоемкости t_j характеризует затраты трудовых ресурсов j-й отрасли, необходимые для производства единицы продукции j-й отрасли. Так, t₁ = 0,06 означает, что для производства продукции промышленности на 1 млрд. руб. необходимо использовать в этой отрасли 60 тыс. чел.-лет трудовых ресурсов. Коэффициент прямой фондоемкости f_j характеризует размер основных фондов j-й отрасли, необходимых для того, чтобы обеспечить выпуск единицы продукции j-й отрасли. Так, f₂ = 0,5 означает, что для производства продукции сельского и лесного хозяйства на 1 млрд. руб. в этой отрасли должно быть задействовано основных производственных фондов на 500 млн. руб. (здания, сооружения, транспорт, комбайны, оборудование и т. д.).

3. Линейная статическая модель межотраслевого баланса имеет вид

, (5)

или в матричной форме

, (6)

где - вектор валовых выпусков отраслей, A=(a_ij) - матрица коэффициентов прямых затрат, - вектор конечной продукции. В нашем примере система (5) запишется следующим образом

(7)

.

Математическая модель (5) представляет собой систему n линейных уравнений, в которой неизвестными величинами могут быть как X_i, так и Y_i. Очевидно, что такая система может иметь единственное решение только в том случае, когда число неизвестных величин не превышает числа уравнений. Принятие одних величин за известные, а других - за неизвестные определяется постановкой конкретной экономической задачи. Типовыми являются следующие задачи:

1. Определение объемов валового выпуска по заданным объемам конечной продукции.

2. Определение объемов конечной продукции по данным об объемах валового выпуска.

3. Определение объемов валового выпуска по одним видам продукции и объемов конечной продукции по другим видам.

В соответствии с условием задачи 1.3 нам необходимо найти вектор валовых выпусков X по заданному вектору конечной продукции Y, т.е. решить первую из вышеперечисленных типовых задач.

Рассмотрим систему (6), т.е. , и запишем ее в несколько ином виде, сделав ряд эквивалентных преобразований:

,

где I - единичная матрица порядка n, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы - нули. Таким образом, система (6) может быть представлена следующим образом:

. (8)

Если существует матрица, обратная к матрице (I - A), т.е., если существует матрица (I - A)^-1, то решение X системы (8) может быть найдено по формуле:

. (9)

Напомним, что обратной к квадратной матрице D называется такая матрица (обозначается D^-1), которая удовлетворяет соотношениям:

.

Матрица (I - A)^-1 называется матрицей полных затрат и обычно обозначается через В, т.е. . Элементы b_ij матрицы В называются коэффициентами полных затрат и имеют важнейшее значение при исследовании и анализе взаимодействия отраслей национальной экономики.

Найдем матрицу полных затрат для модели (7). Алгоритм нахождения обратной матрицы к произвольной квадратной матрице D = (d_ij) состоит из следующих этапов

1. Находится определитель матрицы D, который обозначается D. Если D  0, то обратная матрица D^-1 существует; в противном случае матрица D^-1 не может быть определена.

2. Находятся так называемые алгебраические дополнения элементов матрицы D. Алгебраическим дополнением элемента d_ij матрицы D называется величина D_ij, определяемая по формуле:

,

где M_ij - минор элемента d_ij, который является определителем матрицы, полученной из матрицы D путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

3. Составляется так называемая присоединенная матрица , где символ «Т» означает транспонирование.

4. Вычисляется обратная матрица по формуле: .

Отметим, что существует множество других алгоритмов нахождения обратной матрицы, например, с помощью аппарата жордановых исключений.

Нахождение матрицы B=(I-A)^-1 для системы (7) сводится к следующей последовательности вычислений.

1. ,

2. Алгебраические дополнения элементов матрицы (I-A) будем обозначать через D_ij.

и т.д.

В результате получим матрицу

.

Далее,

.

И, наконец,

.

Теперь по заданному вектору конечной продукции Y=(210, 125, 80), применяя формулу (9), находим вектор валовых выпусков :

.

Очевидно, что вектор валовых выпусков X, найденный по формуле (9), почти совпадает с вектором валовых выпусков отраслей в шахматной таблице МОБ. Разница между отраслевыми валовыми выпусками, оцененными по формуле (9), и исходными валовыми выпусками может быть вызвана ошибками округления при расчете коэффициентов матрицы B.

Для того, чтобы понять содержательный же смысл элементов матрицы В, т.е. коэффициентов полных затрат b_ij, проведем следующие рассуждения.

Рассмотрим трехотраслевую экономику с заданным вектором конечной продукции и запишем покомпонентно векторное равенство :

или в более компактной форме

. (11)

Далее рассмотрим новый вектор конечной продукции Y^H, у которого объем конечной продукции промышленности увеличен на единицу по сравнению с вектором Y, т.е. . Очевидно, что изменение объемов выпуска конечной продукции вызовет изменение объемов валового выпуска отраслей. Следовательно, вектору Y^H будет соответствовать некоторый новый вектор X^H валового выпуска, который можно представить в виде

,

где X - вектор прироста валовых выпусков, обусловленного изменением объема выпуска конечной продукции. Для векторов X^H, Y^H, очевидно, верно равенство X^H = BY^H, которое при покомпонентной записи примет вид, аналогичный уравнениям (11):

,

но в силу (11). Поэтому ,

откуда .

Следовательно, коэффициент полных затрат b_i1 равен объему валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска одной единицы конечной продукции первой отрасли. Аналогичное рассуждение можно провести и для других отраслей. Таким образом, коэффициент полных затрат b_ij равен объему валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска одной единицы конечной продукции j-й отрасли. Рассмотрим матрицу полных затрат в нашем примере, т.е. матрицу (10), тогда

b₁₁ = 1,293 означает, что для обеспечения выпуска на 1 млрд. руб. конечной продукции промышленности (1-я отрасль) должно быть произведено валовой продукции промышленности на 1,293 млрд. руб.,

b₂₃ = 0,163 означает, что для обеспечения выпуска на 1 млрд. руб. конечной продукции прочих отраслей (3-я отрасль) должно быть произведено валовой продукции сельского и лесного хозяйства (2-я отрасль) на 163 млн. руб.

1.4. Коэффициенты полной трудоемкости T_j и полной фондоемкости F_j находятся по формулам:

или , (12)

или , (13)

где , - вектор коэффициентов прямой трудоемкости, , - вектор коэффициентов прямой фондоемкости. В нашем примере (0,06; 0,075; 0,125), (1,5; 0,5; 1,25) .

Тогда

;

.

Для уяснения экономического смысла коэффициентов полной трудоемкости T_j запишем векторное равенство (12) покомпонентно:

и рассмотрим, например, первое из этих равенств. Поскольку b₁₁ - это объем валового выпуска 1-й отрасли, необходимый для обеспечения единичного выпуска конечной продукции 1-й отрасли, а t₁ - затраты труда в 1-й отрасли, обеспечивающие выпуск единицы продукции, то t₁b₁₁ - это затраты труда в 1-й отрасли, обеспечивающие выпуск единицы конечной продукции 1-й отрасли. Аналогично, t₂b₂₁ - это затраты труда во 2-й отрасли, необходимые для производства продукции этой отрасли, обеспечивающей выпуск единицы конечной продукции 1-й отрасли; t₃b₃₁ - это затраты труда в 3-й отрасли, необходимые для производства такой части продукции этой отрасли, которая требуется для обеспечения выпуска единицы конечной продукции 1-й отрасли.

Таким образом, коэффициент полной трудоемкости продукции первой отрасли Т₁ = 0,124 характеризует затраты труда во всех отраслях экономики, необходимые для обеспечения выпуска одной единицы конечной продукции 1-й отрасли. Аналогичный смысл имеют коэффициенты Т₂ и Т₃.

Точно также выясняется экономический смысл коэффициентов полной фондоемкости F_j. Например, для F₂ из (13) получим:

,

где f₁b₁₂ - это стоимость основных фондов 1-й отрасли, которые должны быть задействованы в производстве продукции 1-й отрасли, необходимой для обеспечения выпуска одной единицы конечной продукции 2-й отрасли; f₂b₂₂ - это стоимость основных фондов 2-й отрасли, которые должны быть задействованы в производстве продукции, необходимой для обеспечения выпуска одной единицы конечной продукции 2-й отрасли; f₃b₃₂ - это стоимость основных фондов 3-й отрасли, которые должны быть задействованы в производстве продукции этой отрасли, необходимой для обеспечения выпуска одной единицы конечной продукции 2-й отрасли. Таким образом, коэффициент полной фондоемкости 2-й отрасли F₂ - это стоимость той части основных фондов во всех отраслях экономики, которые необходимо задействовать, чтобы произвести продукцию этих отраслей, обеспечивающую выпуск единицы конечной продукции 2-й отрасли.

Например, в нашем случае

Т₂ = 0,132 означает, что для производства конечной продукции сельского и лесного хозяйства (2-я отрасль) на 1 млрд. руб. во всех отраслях экономики должно быть затрачено 132 тыс. чел.-лет трудовых ресурсов;

F₃ = 1,981 означает, что для производства конечной продукции прочих отраслей (3-я отрасль) на 1 млрд. рублей во всех отраслях экономики должно быть задействовано основных фондов на 1 млрд. 981 млн. рублей.

Прежде, чем проверить выполнение соотношений

, ,

выясним их экономический смысл. Рассмотрим равенство или в развернутом виде для n = 3:

. (14)

Левая часть этого равенства выражает величину всех использованных в течение года трудовых ресурсов в отраслевом разрезе. Действительно, t₁X₁ - это величина трудовых ресурсов, затраченных в течение года в 1-й отрасли для обеспечения валового выпуска этой отрасли в размере X₁. Аналогичный смысл имеют величины t₂X₂ и t₃X₃. Следовательно, сумма выражает суммарные затраты трудовых ресурсов во всех отраслях экономики, необходимых для обеспечения валового выпуска Правая часть равенства (14), т.е. , выражает величину всех использованных в течение года трудовых ресурсов в межотраслевом разрезе. Действительно, T₁Y₁ - это затраты трудовых ресурсов во всех отраслях экономики, необходимые для обеспечения производства конечной продукции 1-й отрасли в размере Y₁; T₂Y₂ - затраты трудовых ресурсов всех отраслей, необходимые для обеспечения производства конечной продукции 2-й отрасли в размере Y₂; T₃Y₃ имеет аналогичный смысл для 3-й отрасли. Следовательно, - это полные затраты труда во всех отраслях экономики, необходимые для обеспечения производства всей конечной продукции.

Равенство имеет аналогичный смысл для используемых в экономике основных фондов.

В нашем примере

,

,

,

.

Задача 2.

2.1. Для того, чтобы рассчитать вектор валовых выпусков отраслей в плановом периоде X^П, определим объемы конечной продукции отраслей в плановом периоде. По условию задачи Y₁ увеличивается на 8%, Y₂ - на 5%, Y₃ - на 7%. Следовательно,

; ; .

Поскольку предполагается, что коэффициенты прямых затрат в плановом периоде остаются равными коэффициентам прямых затрат в текущем году, то вектор валовых выпусков X^П находится по известной формуле:

.

Следовательно,

,

т.е. ; ; .

Определим потребности отраслей в трудовых ресурсах и основных фондах в плановом периоде. Поскольку предполагается, что коэффициенты прямой трудоемкости и фондоемкости остаются неизменными, то

, т.е. необходимый прирост трудовых ресурсов в первой отрасли составляет (млн. чел.-лет).

, (млн. чел.-лет),

, (млн. чел.-лет).

Отсюда общий прирост трудовых ресурсов в плановом периоде должен составить млн. чел.-лет.

В том случае, если такой прирост трудовых ресурсов не может быть обеспечен, следует признать, что запланированные темпы прироста выпуска конечной продукции в плановом периоде нереальны, и их необходимо снизить. Другой путь достижения сбалансированности приростов выпуска конечной продукции и трудовых ресурсов заключается в снижении коэффициентов прямой трудоемкости t_j, т.е. в повышении производительности труда в отраслях экономики.

Потребности отраслей в основных производственных фондах в плановом периоде находятся аналогично.

; ;

; ; ; .

Шахматная таблица МОБ в плановом периоде составляется на основе балансовых уравнений:

, , где ,

и приведена в табл. 4.

Таблица 4

Ш ахматная таблица МОБ в плановом периоде

Распределение продукции Затраты на производство	Производственное потребление в отраслях			Конечный	Валовый
	Промышленность	Сельское и лесное хозяйство	Прочие отрасли	продукт	выпуск
Промышленность	64,64	21,17	10,69	226,8	323,3
Сельское и лес. хоз-во	48,49	10,58	21,33	131,3	211,7
Прочие отрасли	32,33	42,34	53,23	85,6	213,5
Добавленная стоимость	177,84	137,61	128,25
Валовый выпуск	323,3	211,7	213,5
Труд. рес. (млн. чел.-лет)	19,4	15,88	26,69
Осн. Фонды (млрд. руб.)	484,9	105,9	266,9

2.2. Рассмотрим суммы по столбцам элементов b_ij матрицы полных затрат В. Тогда, например, для 1-го столбца получим:

.

Поскольку элементы b₁₁, b₂₁, b₃₁ характеризуют потребность в валовом выпуске 1-й, 2-й, 3-й отраслей соответственно, необходимом для обеспечения выпуска единицы конечной продукции 1-й отрасли, то b₁, очевидно, характеризует потребность в валовом выпуске всех отраслей, обеспечивающем производство единицы конечной продукции 1-й отрасли. Так, b₁ = 1,755 означает, что для производства конечной продукции промышленности на 1 млрд. рублей во всех отраслях экономики должно быть произведено продукции на 1,755 млрд. рублей. Аналогичный смысл имеют b₂ = 1,587 и b₃ = 1,661.

Найдем вектор отраслевой структуры конечного продукта в плановом периоде по формуле:

, i=1, 2, 3.

Тогда , , . Очевидно, что характеризует долю конечной продукции i-й отрасли (в стоимостном выражении) в общей стоимости конечной продукции всех отраслей.

Рассмотрим формулу и запишем ее покомпонентно:

(15)

.

Для выяснения экономического смысла величин , , проанализируем, например, второе равенство в (15). Так как b₂₁, b₂₂, b₂₃ - это объемы валовой продукции 2-й отрасли, необходимые для обеспечения производства единицы конечной продукции 1-й, 2-й и 3-й отраслей соответственно, а определяют доли конечной продукции 1-й, 2-й и 3-й отраслей в общей стоимости произведенной за год конечной продукции, то сумма характеризует потребность в валовом выпуске продукции 2-й отрасли, необходимом для обеспечения производства единицы конечной продукции экономики страны в стоимостном выражении.

Используя соотношения (15), вычислим .

, , .

Как известно, валовой внутренний продукт (ВВП) выражает исчисленную в рыночных ценах совокупную стоимость конечного продукта, созданного внутри страны в течение года с использованием всех факторов производства. Таким образом, коэффициенты можно использовать в качестве оценок объемов валового выпуска отраслей для обеспечения прогнозируемого объема ВВП. Действительно, поскольку, например, означает, что для получения ВВП на 1 млрд. рублей необходимо обеспечить объем валового выпуска продукции промышленности на 728 млн. руб., то при известном прогнозируемом объеме ВВП, например, в 999 млрд. рублей валовой выпуск продукции промышленности должен составить 999 (млрд. руб.).

Задача 3.

3.1. Линейная статическая модель межотраслевого баланса X=AX+Y с заданными матрицами А и векторами X, Y примет следующий вид

X₁ = 0,25X₁  0,511 + 0,3X₂ + 0  4000 + 0,15  5000 + 1000,

X₂ = 0,2X₁  0,511 + 0  X₂ + 0,35  4000 + 0,1  5000 + 2000,

4000 = 0,25X₁ + 0,1X₂ + 0,4  4000 + 0  5000 + Y₃,

5000 = 0  X₁ + 0,4X₂ + 0,1  4000 + 0,3  5000 + Y₄,

или после преобразований

X₁ = 0,25X₁ + 0,3X₂ + 1750,

X₂ = 0,2X₁ + 3900, (16)

Y₃ = -0,25X₁ - 0,1X₂ + 2400,

Y₄= -0,4X₂ + 3100 .

Значения X₁, X₂ могут быть найдены из двух первых уравнений системы (16). Для нахождения Y₃, Y₄ найденные значения X₁, X₂ подставим в третье и четвертое уравнения системы (16).

После элементарных преобразований первые два уравнения (16) примут вид:

,

.

Откуда , . Тогда , .

3.2. Шахматная таблица МОБ составляется на основе балансовых уравнений

,

где - объемы производственного потребления отраслей. Она приведена в таблице 5.

Таблица 5

Шахматная таблица МОБ для четырехотраслевой экономики

Р аспределение продукции Затраты на производство	Производственное потребление в отраслях				Конечный продукт	Валовый
	Отрасль 1	Отрасль 2	Отрасль 3	Отрасль 4		выпуск
Отрасль 1	1058	1424	-	750	1000	4232
Отрасль 2	846	-	1400	500	2000	4746
Отрасль 3	1058	475	1600	-	867	4000
Отрасль 4	-	1898	400	1500	1202	5000
Добавленная стоимость	1270	949	600	2250
Валовой выпуск	4232	4746	4000	5000