10. Метод моментов.
При известном виде распределения случайной величины, зависящем от векторного параметра =(1,...,m), оценки этого параметра можно находить различными способами. Простейшим является метод моментов, основанный на использовании моментных характеристик. Например, для двумерного параметра можно получить такую систему
=m;
=d,
где m и D – оценки из пункта 7 (их нужно выучить) 2, gi() – некоторые функции.
Решая систему, найдем оценки параметров.
11. Метод максимального правдоподобия.
При определенных условиях бывает удобно использовать метод максимального правдоподобия. Этот метод использует функцию правдоподобия, которая представляет собой произведения вероятностей того, что в результате статистических испытаний случайная величина даст именно полученный набор элементов выборки, т.е.
=P(
=
|)P(
=
|)...P(
=
|)
Оценка наибольшего правдоподобия является аргументом, соответствующим максимуму этой функции.
Если основным достоинством метода моментов является простота, то к положительным качествам метода наибольшего правдоподобия следует отнести состоятельность и эффективность получаемых оценок, в то время, как вычисления, сопряженные с его применением, могут быть очень сложны.
12. Точечные оценки мат. ожидания и дисперсии.
Выучить пункт 7!.
13.Интервальные оценки.
Интервальной называется оценка, характеризующаяся двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить надежность и точность оценок.
Пусть * - оценка неизвестного параметра какого-то теоретического распределения. Чем точнее эта оценка, тем меньше абсолютная величина δ=|*-|. Величина δ, таким образом, характеризует точность оценки.
Надежностью (доверительной вероятностью) называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство |*-|<δ. Обычно надежность задается заранее, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Стандартный уровень доверительной вероятности равен 0,9, 0,95, 0,99.
Соответственно, доверительным интервалом называется интервал, в который неизвестный параметр попадает с заданной надежностью γ.
14. Интервальное оценивание параметров нормального распределения.
Для нахождения интервальных оценок нормального распределения ввиду его распространенности (см. пункт 3) был выведен ряд несложных формул.
1) Доверительные интервалы для оценки математического ожидания m при известной дисперсии.
Известно, что выборочное
среднее выборки нормального распределения
также распределено нормально с параметрами
m
и
.
Зададим надежность γ и потребуем, чтобы выполнялось соотношение
P(|
|<δ)=γ.
Обозначим
=
.
Справедливо следующее соотношение:
P(
<m<
)
=
,
где
- функция Лапласа, =
.
Эта формула представляет собой доверительный интервал для математического ожидания.
2) Доверительные интервалы для оценки математического ожидания m при неизвестной дисперсии.
По данным выборки можно построить случайную величину
=
,
которая имеет распределение
Стьюдента с n-1 степенью свободы. Здесь
=
– исправленное среднее
квадратическое отклонение. (Исправленное,
т.к. стандартная оценка является
смещенной, а эта – несмещенной).
Распределение Стьюдента не зависит от
параметров m и σ.
При помощи этого распределения получим:
P(
<m<
)
=
,
где
- квантиль распределения Стьюдента.