Азимутальные проекции

Рассмотрим конкретные виды азимутальных проекций с преимущественным вниманием к тем из них, которые используются в учебной картографии. Различают перспективные и неперспективные азимутальные проекции.

Внешний облик картографических сеток и распределение иска­жений в перспективных азимутальных проекциях зависят от поло­жения центра проектирования, т. е. точки пространства, от которой исходят проектирующие лучи. Рассмотрим эти различия на при­мере нормальных картографических сеток. Центр проек­тирования с поверхности шара (глобуса) на касательную плоскость Р может быть расположен в самом центре шара (К₁), на его поверх­ности, в точке, противоположной точке касания картинной плос­кости и глобуса (К₂); она может быть также вне шара, на продолже­нии полярной оси глобуса (Кз) и, наконец, на продолжении той же оси в бесконечности (К₄). Рис.

Е сли точка К расположена в центре шара, проекция называется центральной, а ее нормальная сетка имеет вид, изображенный в ле­вой половине рисунка. Хотя на рисунке изображена лишь 1/4 часть получаемой картографической сетки, ее особенности отчетливо видны. По значительному увеличению отрезков меридианов на этой сетке можно заключить, что показатели искажения длин по радиусам (по меридианам) m с удалением от центра сильно возрастают. Не­сколько менее, но так же интенсивно увеличиваются радиусы парал­лелей на проекции, а следовательно, и показатели искажений длин n . Эти искажения влекут за собой и очень большие искажения пло­щадей. В каждой точке карты  не равно 0°, поэтому и формы ис­кажены. Все эти виды искажения иллюстрируют эллипсы искаже­ний, а по сумме свойств проекцию относят к произвольным.

Проекция примечательна тем, что является одной из древней­ших. Впервые ее применил для карты звездного неба в IV в. до н. э. древнегреческий философ Фалес. Если с Земли рассматривать небесный свод, то кажется, что находишься в центре сфериче­ской поверхности, т. е. видишь небесные светила в центральной проекции.

Cтереографическая картографическая сетка При проектировании из точки на поверхности шара, противоположной месту касания картинной плоскости (К₂), получается стереографическая картографическая сетка (на правой половине рис.). По своим свойствам эта сетка равноугольная, а искажения длин и площадей у нее меньше, чем в проекции центральной. В пределах карты полушария в каж­дой точке m = n, изменяясь от 1 в центре до 2 на краю. Соответ­ственно показатель искажения площадей Р увеличивается в том же направлении от 1 до 4.

О ртографическая картографическая сетка образуется при про­ектировании из бесконечности, когда проектирующие лучи парал­лельны друг другу (и полярной оси глобуса). Как видно на рисун­ке промежутки между параллелями в этой проекции сильно уменьшаются к краю карты полушария. Следовательно, показатели искажения длин по меридианам также в этом направлении уменьша­ются (теоретически они изменяются от 1 в центре до 0 на краю кар­ты) . В то же время радиусы параллелей на проекции равны их радиусам на глобусе, т. е. длина параллелей при проектировании не изменяется и вдоль них нет искажения длин ( n=1).

Проекция имеет искажения углов, которые сильно возрастают к кра­ям карты. По сумме свойств про­екция относится к произвольным, в частности к равнопромежуточным по направлениям, перпенди­кулярным радиусам.

Чаще других применяются поперечные и косые ортографические картографические сетки. Так, в географическом атласе для 6-го класса на схеме, показывающей различия в падении сол­нечных лучей на земную поверхность, карты земных полушарий построены в ортографической поперечной проекции; при показе годового движения Земли вокруг Солнца четыре ее изображения представлены в косой ортографической проекции.

Из неперспективных азимутальных проекций рассмотрим две, часто применяемые в учебной картографии, — азимутальную равно-промежуточную Постеля и азимутальную равновеликую Ламберта.

Азимутальная равнопромежуточная проекция Постеля. Нормаль­ная сетка в этой проекции имеет изображение полюса в центре карты, меридианы у нее прямые, под равными углами расходящиеся от точки полюса, а параллели — дуги концентри­ческих окружностей с центром в точке полюса. Сетку строят при условии, что главный масштаб карты должен сохраняться по всем радиусам, в данном случае — по меридианам. Это условие реали­зуется, если отрезки меридианов между соседними параллелями будут равны и представлять выпрямленные дуги меридианов. Вы­числение размеров этих отрезков выполняют по формуле:

2R ·

АА' = 360° ·М

где R — средний радиус Земли (6370 км);  — разница широт соседних параллелей, М — знаменатель главного масштаба карты.

В этой же проекции можно построить поперечную картографическую сетка в азимутальной равнопромежуточной проекции Постеля, а также косую сетка в этой же проекции. Все три варианта проекции (нормальная, поперечная и ко­сая сетки) имеют общий характер распределения искажений. У всех точка нулевых искажений находится в центре карты. В нормальной про­екции она при этом совпадает с изоб­ражением полюса, в поперечной — |находится в точке пересечения экватора со средним меридианом карты; в косой проекции Постеля также на среднем меридиане, но в точке, расположенной между эква­тором и полюсом (обычно посереди­не карты).

В этой проекции масштабы длин по радиусам от точки нулевых иска- жений не изменяются, а по направлениям перпендикулярным радиусам, они возрастают от центра к краям карты полушария примерно в полтора раза. Указанные два на­правления и являются главными, причем по радиусам действует наименьший показатель искажения длин b = 1, а по направлениям, перпендикулярным радиусам, действует наибольший показатель а, который изменяется от 1 в центре до 1,57 на краю карты полу­шария.

Если в нормальной сетке главные направления совпадают с линиями картографической сетки (когда а — n, b = m), то в двух других вариантах этого совпадения в общем нет. Исключением слу­жит в обоих случаях лишь средний меридиан карты (вдоль него действует показатель b ), а в поперечной проекции также линия экватора.

Площади и углы в проекции Постеля искажаются. Показатель искажения площадей р = a - b изменяется от 1 в центре до 1,57 на краю карты полушария. В общем, азимутальная проекция Постеля относится к произвольным, равнопромежуточным по радиусам из центра карты.

Проекция Постеля была разработана автором в XVI в. Ее при­меняют для построения карт северного (южного) полушария или территорий с меньшим охватом, например карт Арктики и Антарк­тики. В этой проекции в географическом атласе для 8 класса построе­ны карты Антарктиды; в Географическом атласе для учителей сред­ней школы и в Учебном атласе мира (1979 г.) — карты Арктики и Антарктиды. В поперечной проекции Постеля строили в прошлом карты восточного и западного полушарий.

Азимутальная равновеликая проекция Ламберта.

Построение азимутальной проекции Ламберта подчинено условию равновеликости: по всей ее площади должно быть сохранено условие

р = а · b = const = 1.

Способ достижения этого усло­вия можно понять из сравнения нормальных картографических се­ток, построенных в проекциях Постеля и Ламберта Вспомним, что благодаря равен­ству отрезков меридианов между параллелями в проекции Постеля и сохранению на меридианах глав­ного масштаба показатель иска­жения длин по этим главным на­правлениям равен 1. По второму же главному направлению пока­затель а больше 1, что влечет увеличение показателя искажения площади к периферии карты.

Чтобы избежать этого и чтобы показатель р = а · b оставался всю­ду равным единице, в каждой точ­ке карты увеличение одного со­множителя (а) компенсировалось уменьшением второго сомножителя (b). Но это возможно лишь при условии, что отрезки меридианов между параллелями у нормальной сетки не остаются равными (как в проекции Постеля), а умень­шаются к периферии. Это и осуществлено при построении проекции Ламберта. В результате оказалось выполненным условие равновеликости.

Кроме того, проекция Ламберта имеет следующие свойства:

примени­тельно к трем вариантам картографической сетки: нормальному, поперечному и косому

Во всех трех вариантах точка нулевых искажений находится в центре картографической сетки. Показатели искажения длин по направлениям радиусов от этой точки изменяются от 1 до 0,7 на краю карты полушария. По направлениям, перпендикулярным ради­усам, показатель искажения длин а изменяется от 1 в центре до 1,4 на краю карты полушария. Углы и формы претерпевают в этой проекции значительные искажения, особенно к периферии карты. Например, показатель искажения форм на краю карты полушария равен 2,0.

Проекция Ламберта, предложенная автором в XVIII в., имеет в настоящее время широкое применение. Почти все карты восточного и западного полушарий, в том числе стенные и настольные, в школь­ных атласах и учебниках строят в азимутальной поперечной проек­ции Ламберта. В этой же проекции строят карты материков: для Африки применяют поперечную картографическую сетку в проек­ции Ламберта, для других материков используют косую картогра­фическую сетку.