24.Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Так называются уравнения вида . Запишем производную в виде отношения дифференциалов: и разнесем в разные части выражения, содержащие и . Мы получим равенство двух дифференциалов: . После интегрирования правой части по , а левой – по мы получим слева функцию, зависящую от , а справа – функцию, зависящую от , отличающихся на константу: .

25.П р и м е р. В соответствии с законом радиоактивного распада вещества скорость распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Если обозначить массу нераспавшегося вещества в момент , то этот закон можно записать в виде соотношения: . Знак минус указывает на то, что масса вещества убывает с ростом .

Решение. Разделим переменные: . После интегрирования получим . Здесь произвольное постоянное слагаемое мы представили в виде логарифма положительной постоянной величины для удобства последующего потенцирования: .

Проанализируем полученное решение. Оно содержит постоянные (эта постоянная зависит от вида радиоактивного вещества – стронций, радий, уран….) и – постоянную интегрирования. Предположим, что мы исследуем радиоактивный распад радия, для которого , если измерять время в годах. Решение уравнения распада имеет вид , и мы получаем множество решений вследствие присутствия произвольной положительной константы , то есть, общее решение.

26.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Так называют уравнение вида . Для решения такого уравнения целесообразно ввести новую функцию . Тогда и . Подставляя в исходное уравнение, получим или . Последнее уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными. Решив его и найдя , мы найдем и . П р и м е р. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. Выбрать среди кривых ту, которая проходит через точку (2,1).

Решение. В соответствии с геометрическим условием . Упрощая, получим . Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Вводя функцию , придем к уравнению с разделяющимися переменными . Разделив переменные, получим равенство дифференциалов . Левая дробь раскладывается на простейшие дроби следующим образом: . В результате после интегрирования имеем , и возвращаясь к старой функции по формуле , получим

. Общее решение, то есть, семейство кривых, мы построили. Теперь нужно выбрать частное решение – ту кривую, которая проходит через точку (2,1). Подставляя координаты точки в уравнение, получим , то есть, . Таким образом, уравнение выбранной кривой: .