2. Расчет переходных процессов на переменном токе

Когда ток в индуктивности и напряжение на емкости достигнут установившегося значения при работе электрической цепи в рассмотренном выше режиме, срабатывает ключ К2 (К1остается в положении предшествующего режима). Электрическая цепь на рис. 9 подключается к источнику энергии переменного напряжения. Ток от источника постоянного напряжения будет замыкаться только через ветвь с идеальным источником напряжения е(t), обладающим нулевым внутренним сопротивлением. На переходной процесс в остальной цепи ЭДС постоянного напряжения влиять не будет. Электрическая цепь, в которой будет происходить переходной процесс представлена на рис.9.

Рис.9

2.1.Классический метод

Решение

Ток в индуктивности после коммутации является решением дифференциального уравнения первого порядка и представляет собой сумму двух составляющих:

,

где ̶ вынужденная составляющая, значение тока в новом установившемся режиме .

Так как в цепи действует источник энергии синусоидального напряжения, электрическая цепь линейная, то тоже изменяется по гармоническому закону.

По закону Ома в комплексной форме:

, А

Напряжение на индуктивности в установившемся состоянии (принужденная составляющая):

, В

Мгновенные значения принужденных составляющих тока и напряжения на индуктивности:

. А

,В

Свободная составляющая тока не зависит от напряжения источника и имеет вид:

При этом постоянная времени цепи на рис.9.

1/c

Значение тока в индуктивности в переходном процессе:

(2.1)

Для определения постоянной интегрирования В в выражение (2.1) подставим t = 0+

Согласно первому закону коммутации

,

где - установившееся значение тока в индуктивности в предшествующем режиме работы электрической цепи определяется выражением (1.4), т.е.

, А

Значение постоянной

, А

Закон изменения тока в индуктивности в переходном процессе имеет вид:

Напряжение на индуктивности :

Графики и приведены на рис.10. и рис.11.

Для построения графиков определим, сколько содержится в периоде гармонической функции Т.

Период с. ,

т.е. в отрезке длиной Т(360⁰) содержится 25 .

Результаты вычислений для построения графиков сведены в таблицу 2.

t		,А	,А	,А	,В	, В	В
τ	0.37	0.77√2	7√2	7.77√2	7.7√2	17.2√2	9.5√2
2τ	0.14	0.29√2	8.5√2	8.79√2	2.9√2	12.1√2	9.2√2
3τ	0.15	0.1√2	9.4√2	9.5√2	√2	6.3√2	5.3√2
4τ	0.02	0.04√2	9.7√2	9.74√2	0.4√2	0	-0.4√2

Рис.10

Рис.11

2.2. Решим эту же задачу операторным методом.

Так как в рассматриваемом случае действует синусоидальная ЭДС e(t), то расчет операторным методом значительно упрощается, если оперировать с мгновенной комплексной ЭДС

, В,

изображение которой имеет вид (см. приложение 1 п.5)

Для учета ненулевых начальных условий фиктивную ЭДС умножим на ,,j'',тогда операторная схема имеет вид:

Рис.12

Применяя метод наложения, определим :

(2.3)

После подстановки численных значений выражение (2.3) принимает вид:

Найдем комплексный оригинал тока с помощью теоремы разложения.

Определим корни знаменателя.

F₂(p) = 0 (p-j500)(10+5·10^-3·p) = 0

откуда

Производная по p от знаменателя F₂(p) имеет вид :

Подставим значения корней р₁ и р₂ в выражения F₁(p) и F'₂(p):

;

;

;

;

Комплексный оригинал тока в индуктивности имеет вид:

.

Искомый ток представляет собой мнимую часть последнего выражения:

Напряжение на индуктивности согласно II закону Кирхгофа в операторной форме имеет вид (рис.12):

Определим оригинал по теореме разложения.

Корни знаменателя определены выше : и

Вычислим F₁(p₁) и F₁(p₂):

Выражения для F'₂(p₁) и F'₂(p₂) получены раньше.

Комплексный оригинал напряжения на индуктивности:

Искомое напряжение на индуктивности в переходном процессе является мнимой частью комплексного оригинала:

Таким образом, расчеты проведены верно, т.к. ток и напряжение на индуктивности, определенные разными методами имеют одинаковые выражения.

Цель работы: расчет домашнего задания по теме «переходные процессы на постоянном и переменном токе»

Содержание задания

Рассчитать переходные процессы в разветвленной электрической цепи классическим и операторным методом при двух коммутациях:

1. на постоянном токе при срабатывании ключа К1 ( ключ К2 остается в положении, изображенном на схеме );

2. на переменном токе при срабатывании ключа К2 (ключ К1 остается в положении соответствующем п1).

Причем ключ К2 замыкаем в тот момент , когда переходной процесс от замыкания ключа К1 закончился.

В каждом из указанных случаев необходимо определить и построить графики

Исходные данные для расчета и схемы приведены в приложениях 2и 3.Номер варианта задает преподаватель .

Номера вариантов, численные значения и расчетные схемы приведены в приложениях 2 и 3.

Список литературы:

1. Г.В.Зевеке, П.А. Ионкин и др. Основы теории цепей М: 1989г. стр. 234-288.

2. М.Р. Шебес, Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М: Высшая школа 1967 стр. 335-399.

3. Бессонов А.А. Теоретические основы электротехники, электрические цепи. М: Высшая школа, 1984

4. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи. М: Энергия, 1978.

Дана электрическая цепь в которой происходит коммутация (рис. 2.6 -2.10). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Параметры цепи даны в таблице 2.2.

Определить закон изменения во времени тока после коммутации в одной из ветвей схемы или напряжения на каком-либо элементе.

Задачу решить двумя методами: классическим и операторным. Построить график переходного процесса для искомой величины на интервале от t = 0 до t = 3_max.

Таблица 2.2

Приложение 2

№ вар	Рис	Е, В	L, мГн	С, мкФ	R1	R2		R3	R4		Опреде-лить
					Ом
1	2.1	100	1	10	50	25	25			-		uc
2	2.2	100	1	10	50	20	30			-		иL
3	2.3	100	1	10	20	15	5			2		i
4	2.4	100	1	10	20	2	18			2		uc
5	2.5	200	1	10	10	25	50			15		i3
6	2.6	200	1	10	10	30	50			10		uL:
7	2.7	50	2	167	1	2	2			4		i2
9	2.8	150	4	5	6	10	5			4		uc
10	2.9	150	4	5	3	10	5			7		i2
2.10

Рис. 2.1.

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

Рис. 2.8.

Рис. 2.9.

Рис. 2.10.

3.2. Расчет переходного процесса в линейной электрической цепи

5.15. Дано: i(t)=0,4sin(314t+90^o) A ; R=R₁=800 Oм, C=10мкФ.

О пределить напряжение на емкости U_c и ток i после коммутации.

.

C = 2 мкФ.

Найти напряжение на емкости U_C после коммутации.

5.16. Дано e(t) = 100 sin (2500 t - 30) В, R₁ = 100 Ом, R = 500 Ом,

S

C

R₁

i

U_C

R

e(t)

5.17. E=180 В; R₁=240 Ом; R₂ = 120 Ом; C = 25мкФ.

Определить напряжение U_c и токи i₁ и i₂ после коммутации.

i₁

R₁

S

C U_c

E

R₂

i₂

18. 

    R₂ = 30 Ом.

    Определить:

    1. ток i и U_c после коммутации;

    2. ток i*.

    Дано: e(t)=100 sin(t+60); L = 0.04 Гн; R₁ = 20 Ом; C = 4 мкФ;

R₁ C L

S

R₂

e(t)

i*

i

5.19. Ключ S размыкается в момент, когда синусоидальный ток i в цепи имеет максимальное значение 100 А.

Найти ток i в цепи после коммутации, если L=100 мГн, R₁=1 Ом,

R₂=9 Ом, R₃=1,12 Ом, f=50 Гц.

i

S

R₃

R₂

L

R₁

e(t)

5.20. Дано: Е₁=100 В, Е₂=400 В, R₁=100 Ом, R₂=50 Ом, C=30 мкФ.

S

R₂

C

Определить: U_с после коммутации.

Е₂

Е₁

R₁

1. Определить токи I₁ I₃ при переходном процессе;

2. Решить задачу при перемене местами L и C.

5 .21. Дано: Е=200 В, R=25 Ом, С=50 мкФ, L=166,6 мГн.

5.22. Дано: E=100В; R=50 Ом; L=58,75 мГн; С=100 мкФ

О пределить токи i₁-i₃,U_C и U_L

при переходном процессе.