4.2. Примеры решения

Пример 1. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе C и тока электрической цепи, приведенной на рис. 1, при , , , , , .

Рис. 1

3.2.1. Решение задачи классическим методом

Составим характеристическое уравнение

Подставив численные значения, получим:

Корни характеристического уравнения действительные и различные - переходный процесс апериодический и общее решение для и имеет вид:

где - принужденные (установившиеся) значения и .

Найдем постоянные интегрирования и . На основании второго закона коммутации

Для момента

(*)

Для составления второго уравнения для и найдем

Вычислим ток

По первому закону Кирхгофа . В этой формуле для тока должен выполняться первый закон коммутации:

а ток найдем, используя второй закон Кирхгофа для левого контура (рис. 3.4.):

, откуда

тогда

и

(**)

Объединяя уравнения (*) и (**) в систему, получим:

Округляя, получим

Ответы:

3.2.2. Решение задачи операторным методом

Составим операторную схему замещения (рис. 3.5).

К ак видно из схемы, для нахождения целесообразно использовать метод двух узлов. Заземлив узел 2, для узла 1 составим уравнение:

;

- узловая проводимость:

- узловой ток:

.

Для перехода от изображения к оригиналу используем вариант формулы разложения, когда в знаменателе присутствует нулевой корень.

где и - корни уравнения

Уравнение совпадает с характеристическим уравнением в классическом методе, его корни:

,

Таким образом, выражения и , найденные классическим и операторным методами, полностью совпадают.

Если требуется найти только ток операторным методом, удобнее сразу получить изображение , используя закон Ома для второй ветви (рис. 3.5):

Формула разложения в этом случае имеет вид:

Графики переходного процесса для и построены на рис.3.6. и 3.7.

Рис. 3.6.

Пример

Рис.1

Исходные данные:

Таблица 1

Е, В	R,Ом	L, мГн	С, мкФ
200	10	5	50		45	500

1. Расчет переходных процессов на постоянном токе

При расчете этого режима срабатывает ключ К1, ключ К2 остается в положении, изображенном на схеме.

1.1 Классический метод

Решение

Для цепи до коммутации (ключ К1 разомкнут) определяем величины и :

,А.

,А (1.1)

,В (1.2)

После замыкания ключа К1 электрическая цепь представляет собой две независимые цепи, в которых происходят переходные процессы.

Одна из них содержит индуктивность и активные сопротивления, другая  емкость и активные сопротивления.

Рис.2

а) Рассмотрим цепь R-L. (рис.2)

Ток в ветви с индуктивностью после коммутации равен:

. (1.3)

 значение тока в новом установившемся режиме

, А (1.4)

Свободная составляющая тока равна:

, (1.5)

где постоянная времени ;

;

c;

После подстановки выражений (1.4) и (1.5) в (1.3) имеем:

(1.6)

В этом выражении А – постоянная интегрирования. Для ее отыскания воспользуемся начальными условиями коммутации.

Запишем выражение (1.6) для момента времени t = 0+:

(1.7)

По первому закону коммутации

.

Так как согласно (1.1)

то и

Подставляя значение в выражение (1.7) определяем постоянную А:

А = 2 -10 = -8, А.

Окончательное выражение для тока в переходном процессе:

, А (1.8)

Значение напряжения на индуктивности в переходном процессе:

, В (1.9)

7:Графики зависимостей и приведены на рис.3 и рис.4

Рис.3 рис.4

б) Рассмотрим цепь R-C, в которой происходит переходной процесс (рис.5)

Рис. 5

Так как в данной цепи отсутствует источник электрической энергии, то напряжение на ёмкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую, т.е.

, (1.10)

а

,

где ̶ постоянная времени

,

, Ом.

Если подставить в уравнение (1.10) момент времени t = 0+, то можно определить значение постоянной времени В: .

По второму закону коммутации .

Согласно выражению (1.2)

, В,

тогда

В =80, В.

Закон изменения напряжения на ёмкости в переходном процессе:

, В (1.11)

Ток через емкость в переходном процессе:

, А (1.12)

Графики зависимости и представлены на рис.6 и рис.7:

Решим эту же задачу операторным методом.

C учетом начальных условий (1.1) и (1.2) операторная схема для цепи после коммутации будет иметь вид:

Рис.8

Операторный ток в индуктивности определим методом наложения от действия операторной ЭДС и фиктивной ЭДС, вызванной ненулевыми начальными условиями в индуктивности . т.е.

C помощью формул соответствия, приведенных в приложении 1, определяем оригинал тока

, А

Применяя второй закон Кирхгофа в операторной форме, определяем напряжение на индуктивности:

Выражения для U_L(p) представляет собой табличную функцию :

U_L(p) = 106.67 = 106.67 , В

Примечание: В некоторых случаях для определения операторного тока более рациональным является метод эквивалентного генератора, для операторного напряжения – метод узловых потенциалов.

Операторный ток через емкость, как видно из схемы на рис.8, можно определить по закону Ома в операторной форме:

.

Выражение для операторного тока I_C(p) является табличной функцией:

, А.

Операторное напряжение на емкости имеет вид:

Этому операторному изображению соответствует табличная функция:

, В

Проведенные расчеты подтвердили правильность решения: законы изменения токов и напряжений в переходном процессе одинаковые при определении разными методами.