9. Классическая транспортная задача

Под транспортной задачей понимают целый ряд задач, имеющих определенную специфическую структуру. Наиболее простыми транспортными задачами являются задачи о перевозках некоторого продукта из пунктов отправления в пункты назначения при минимальных затратах на перевозку.

Итак, транспортная задача - это задача максимально эффективного связывания продавцов и покупателей при реализации следующих условий: 1) все потребности покупателей полностью удовлетворены 2) весь наличный товар продавцов полностью реализован 3) совокупные транспортные издержки товарных перемещений минимальны

Общий вид КТЗ Имеется n–поставщиков с мощностями A1, A2, … , An (мощность – это количество имеющегося товара) и m– потребителей с мощностями B1, B2, … , Bm (здесь мощность – потребность в товарах).

Xij будет объем поставки от i– поставщика к j– потребителю. Cij будут издержки транспортировки от i– поставщика к j– потребителю

П о сути мы имеет оптимизационную модель. Она имеет систему ограничений и целевую функцию. Система ограничений продавец должен продать все, что у него есть:

покупатель должен купить все, что ему нужно

Целевая функция:

З адача может решаться, если она является закрытой, т.е. сумма мощностей продавцов должна быть равна сумме мощностей потребителей:

Если такого равенства нет, задача является открытой и закрывается путем введения фиктивного игрока, мощность которого приводит данному равенству. При этом издержки транспортировки в строке или в столбце фиктивного игрока приравниваются к 0.

Этапы решения задачи:

1 этап - Выясним, закрыта ли задача. В противном случае добавим фиктивного игрока-покупателя

2 этап - Произведем базовое распределение первым методом: методом наименьших затрат.

Базовое распределение начинается с клетки с min издержками. В случае, если несколько клеток с одинаковыми издержками принадлежат к одной мощности, для заполнения выбирается клетка с наибольшей перекрестной мощностью.

Количество заполненных клеток в таблице должно быть n+m-1. Если так не получилось, то можно:

• использовать другой метод базового распределения (менее эффект-й – метод северо-западного угла)

• ввести фиктивную поставку

3 этап - Оптимизация таблицы методом потенциалов

• Присвоим любому игроку потенциал в виде любого целого числа. Для строк Ui, для столбцов Vj.

NB! Роспись потенциалов происходит только по заполненным клеткам.

Роспись потенциалов начинается с присвоения любому игроку произвольной цифры в качестве потенциала. Дальнейшая роспись осуществляется по формуле:

П роведем оценку оптимальности заполнения таблицы:

Если оценочная матрица d содержит отрицательные оценки, значит таблица заполнена не оптимально и требует оптимизации. Оптимизация начинается с клетки, имеющей самую большую по модулю отрицательную оценку.

Для оптимизации клетки построим контур, состоящий из прямых углов с одной вершиной в оптимизируемой клетке, со всеми другими вершинами в заполненных клетках.

Вершина контура в оптимизируемой клетке помечается знаком «+». Все другие вершины попеременно +/-. Клетки, содержащие «+» увеличиваются, а клетки со знаком «-» уменьшаются, на самую маленькую поставку, содержащуюся в клетках со знаком «-».

Проверяем – является ли данное распределение оптимальным. Для этого в исправленной таблице распишем потенциалы, проверим, если оптимально, то подставляем значения в целевую функцию. Если нет – повторяем до оптимальности таблицы.