5. Основы регрессионного анализа. Модель линейной многофакторной регрессии.

Признак – это основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса. Показатель - количественное представление признака называется.

Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса: факторные и результативные. Результативный признак – исследуемый показатель экономического процесса, как правило, характеризующий эффективность процесса. Факторный признак – показатель, влияющий на значение результативного показателя.

Регрессионная модель – запись выявленной связи между результативным показателем и факторами в виде уравнения в постановке, когда реализация результирующего показателя имеет случайную составляющую, а факторы – детерминирующую.

Регрессионный анализ включает следующие этапы: 1) определение типа функции; 2) определение и проверку коэффициентов регрессии; 3) расчет значений функции для отдельных значений аргумента; 4) исследование рассеивания оп отклонениям расчетных значений от эмпирических данных.

Для определения типа функции нужно из эмпирических данных получить ответы на следующие вопросы: 1) каково направление связи. 2) изменяется ли направление связи в исследуемой совокупности, т.е. является ли зависимость монотонной. 3) вытекает ли форма связи из равномерно ускоряющихся или замедляющихся изменений, т.е. имеет ли связь линейный или нелинейный характер.

Д ля характеристики связей экономических явлений используют следующие типы функций: линейную гиперболическую показательную

п араболическую степенную

логарифмическую логистическую

Многофакторная регрессия описывает зависимость одного следствия от одного или более признаков.

Уравнение линейной многофакторной модели:

Y – результативный признак; X – фактор; a₁ – коэффициент регрессии; a₀ – свободный член регрессии. Описывает влияние на результативный признак стахостических (случайных) факторов.

Коэффициент регрессии а₁ показывает, на сколько изменится в среднем результативный признак при изменении факторного на 1.

Система нормальных уравнений с k неизвестными:

Система нормальных уравнений с двумя неизвестными

6. Основы и виды корреляционного анализа.

Категории зависимости между признаками

• функциональные

• корреляционные

Функциональная связь — такой вид соотношения между двумя признаками, когда каждому значению одного из них соответствует строго определенное значение другого (площадь круга зависит от радиуса круга и т.д.). В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции.

Корреляционная связь — такая связь, при которой каждому определенному значению одного признака соответствует несколько значений другого взаимосвязанного с ним признака (связь между ростом и массой тела человека; связь между температурой тела и частотой пульса и др.). Некоторое увеличение аргумента повлечет за собой лишь среднее увеличение или уменьшение (в зависимости от направленности) функции, тогда как конкретные значения у отдельных единиц наблюдения будут отличаться от среднего. Такие зависимости встречаются повсеместно. Например, в сельском хозяйстве это может быть связь между урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что последние участвуют в формировании урожая. Но для каждого конкретного поля, участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается – увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.

Корреляционный анализ, разработанный К.Пирсоном и Дж.Юлом, является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков. Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке степени зави­симости между случайными величинами. Степень линейной зависимости между количест­венными переменными характеризуется с помощью парных, частных и множественных ко­эффициентов корреляции.

В статистике принято различать следующие варианты зависимостей: 1) парную корреляцию – связь между признаками (результативным и факторным или двумя факторными); 2) частную корреляцию – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков; 3) множественную корреляцию – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Коэффициент парной корреляции Прежде чем вывести формулу коэффициентов корреляции уточним определения дисперсии (D) и среднего квадратического отклонения (ϭ). Дисперсия (D) – характеристика значений показателя, отражающая степень разброса отдельных значений показателя от среднего значения. Дисперсия для несгруппированных данных рассчитывается по формуле:

Ф ормулу для расчета дисперсии после некоторых преобразований можно привести к следующему виду:

Среднее квадратическое отклонение ϭ представляет собой корень квадратный из дисперсии

Используя математические свойства средней, получаем следующую формулу для коэффициента парной корреляции – показателя тесноты зависимости для линейных однофакторных зависимостей:

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от -1 до + 1. Принято считать, что если |r| < 0,30, то связь слабая; при

|r| = (0,3÷0,7) – средняя; при

|r| > 0,70 – сильная, или тесная.

Когда |r| = 1 – связь функциональная.

Если же r принимает значение около 0, то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между У и X. Однако в этом случае возможно нелинейное взаимодействие. что требует дополнительной проверки и других измерителей, рассматриваемых ниже.

М ежду линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой: где a_i – коэффициент регрессии в уравнении связи.