19. Элементы теории игр. Понятие об игровых моделях. Решение игры в смешенных стратегиях.
Теория игр получила популярность с конца 20 века. Применяется в условиях с неполной информацией. Во многих экономических задачах часто возникают ситуации, когда две или более сторон разрешают одну и ту же проблему, но преследуют различные цели, их интересы противоположны.
Конфликтная ситуация - та, в которой две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от действий партнера.
Примерами таких ситуаций служат отношения между продавцом и покупателем, адвокатом и прокурором, кредитором и дебитором, истцом и ответчиком и т.д. Игра – математическая модель конфликтной ситуации. Выигрыш (платеж)- исход конфликта. Ничья – нулевой выигрыш.
Виды игр: 1) Парные - присутствуют две стороны 2) Множественные – более двух сторон 3) Игры с природой – мы анализируем только свои ходы во внешней ситуации
Игра с нулевой суммой – парная игра, в которой выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Т.е. ∑ выигрыша 1 игрока равна ∑ проигрыша другого.
Ход – это выбор одного игрока, предусмотренный правилами. Виды ходов 1) Личные ходы (шахматы) 2) Случайные ходы (рулетка) 3) Смешанные игры (нарды)
Классифицируются:
Игры с полной информацией (когда знаем и прошлые и будущие ходы - шахматы)
Игра с неполной информацией (экономические ситуации)
Стратегия игрока – совокупность правил, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Цель теории игр - определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
λ11λ12…- платеж при определенной стратегии игрока А.
Выигрыш рассматриваем со стороны игрока А.
Для платежной матрицы есть понятие НИЖНЯЯ ЦЕНА ИГРЫ – гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В:
λ= max*min* λij - МАКСИМИН
Очевидно, если мы будем придерживаться максимальной стратегии, то нам при любом поведении противника гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньший α.
ВЕРХНЯЯ ЦЕНА ИГРЫ – гарантированный проигрыш игрока В: В этом случае, противник гарантирует себе, что он во всяком случае проиграет сумму не большую чем β. β= minj*maxi* λij МИНИМАКС Принцип минимакса - основной принцип теории игр, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» стратегий.
Седловая точка – платеж, который одновременно является наименьшим в строке и наибольшим в своем столбце. Пара чистых стратегий, который соответствует седловая точка, дают оптимальное решение игры.
Решение игры в смешанных стратегий
Выигрыш, получаемый в результате решения, называется ценой игры. Каждая конечная игры имеет цену. Очевидно, цена игры n всегда лежит между нижней ценой игры α и верхней ценой игры β:
Методы решения простейших игровых задач Наиболее простейшими случаями игр, которые всегда можно решить элементарными способами, являются игры 2×2 и 2×m.
Оптимальная смешанная стратегия игрока А:
Где p1=